Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\) tồn tại đúng hai số
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\) tồn tại đúng hai số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 1 - 5i} \right| + \left| {z - 1 + 5i} \right| = 10\) và \(\left| {z - 2 - i} \right| = m\)?
Đáp án đúng là: D
Giả sử \(M\left( {x;\,y} \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức \(z = x + yi,\,\,\left( {x,\,y \in \mathbb{R}} \right)\); \(A\left( {1;\,5} \right)\), \(B\left( {1;\, - 5} \right)\) lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức \(1 + 5i,\,1 - 5i\).
Theo giả thiết \(\left| {z - 1 - 5i} \right| + \left| {z - 1 + 5i} \right| = 10\) suy ta \(MA + MB = 10\), mà \(AB = 10\) nên tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn cho số phức \(z\)là đoạn \(AB\).
Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(x - 1 = 0\)
Điều kiện cần để tồn tại hai số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(m > 0\).
Với \(m > 0\) ta có điểm \(M\) biểu diễn cho số phức \(z\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {2;\,1} \right)\) và bán kính \(r = m\).
Yêu cầu bài toán tương đương với điều kiện \(\left( C \right)\) cắt đoạn \(AB\) tại hai điểm phân biệt.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,\,AB} \right) < r\\IA \ge r\\IB \ge r\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m \le \sqrt {17} \\m \le \sqrt {37} \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le \sqrt {17} \).
Vậy có \(3\) giá trị nguyên của \(m \in \left\{ {2;\,3;\,4} \right\}\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com