Xét hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \(\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R};a > 0} \right)\)

Câu hỏi số 711036:

Vận dụng cao

Xét hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \(\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R};a > 0} \right)\) có hai cực trị \({x_1},{x_2}\) (với \({x_1} < {x_2}\)) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 0\). Hình phẳng giới hạn bởi đường \(y = f'\left( x \right)f''\left( x \right)\) và trục hoành có diện tích bằng \(\dfrac{9}{4}\). Biết \(\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{3^x} + 1}}dx = - \dfrac{7}{2}} \), giá trị của \(\int\limits_0^{{x_2}} {\left( {x + 2} \right)f''\left( x \right)dx} \) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {6;7} \right)\).

B. \(\left( { - 1;0} \right)\).

C. \(\left( {0;1} \right)\).

D. \(\left( { - 7; - 6} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:711036

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \( \Rightarrow \)\(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Do \(f\left( x \right)\) có hai cực trị \({x_1},{x_2}\) (với \({x_1} < {x_2}\)) nên \(f'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\).

Vì \({x_1} + {x_2} = 0\) nên \(\dfrac{{ - 2b}}{{3a}} = 0 \Rightarrow b = 0\) suy ra \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + c\)\( \Rightarrow \)\(f''\left( x \right) = 6ax\)

Ta có \(f'\left( x \right)f''\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = 0\\x = {x_2}\end{array} \right.\)

Hình phẳng giới hạn bởi đường \(y = f'\left( x \right)f''\left( x \right)\) và trục hoành có diện tích bằng \(\dfrac{9}{4}\)

\(\dfrac{9}{4} = \)\(\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {f'\left( x \right)f''\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{{x_1}}^0 {f'\left( x \right)f''\left( x \right)dx} - \int\limits_0^{{x_2}} {f'\left( x \right)f''\left( x \right)dx} \)

\( = \left. {\dfrac{1}{2}{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \right|_{{x_1}}^0 - \left. {\dfrac{1}{2}{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \right|_0^{{x_2}} = {c^2}\) \( \Rightarrow c = - \dfrac{3}{2}\) (do \(c < 0\))

suy ra \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} - \dfrac{3}{2}\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = - \sqrt {\dfrac{1}{{2a}}} \\{x_2} = \sqrt {\dfrac{1}{{2a}}} \end{array} \right.\)

Ta có \(\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{3^x} + 1}}dx} = \int\limits_{{x_1}}^0 {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{3^x} + 1}}dx + } \int\limits_0^{{x_2}} {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{3^x} + 1}}dx} \)

Xét \(A = \int\limits_{{x_1}}^0 {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{3^x} + 1}}dx} \). Đặt \(t = - x\)

Ta có \(A = - \int\limits_{ - {x_1}}^0 {\dfrac{{f'\left( { - t} \right)}}{{{3^{ - t}} + 1}}dt} = \int\limits_0^{ - {x_1}} {\dfrac{{{3^t}f'\left( t \right)}}{{{3^t} + 1}}dt} = \int\limits_0^{{x_2}} {\dfrac{{{3^x}f'\left( x \right)}}{{{3^x} + 1}}dx} \)

Do dó \(\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{3^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^{{x_2}} {\dfrac{{{3^x}f'\left( x \right)}}{{{3^x} + 1}}dx + } \int\limits_0^{{x_2}} {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{3^x} + 1}}dx} \)\( = \int\limits_0^{{x_2}} {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\sqrt {\dfrac{1}{{2a}}} } {\left( {3a{x^2} - \dfrac{3}{2}} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {a{x^3} - \dfrac{3}{2}x} \right)} \right|_0^{\sqrt {\dfrac{1}{{2a}}} } = - \sqrt {\dfrac{1}{{2a}}} = - \dfrac{7}{2} \Rightarrow a = \dfrac{2}{{49}}\)\( \Rightarrow f''\left( x \right) = \dfrac{{12}}{{49}}x\) và \({x_2} = \dfrac{7}{2}\).

\(\int\limits_0^{{x_2}} {\left( {x + 2} \right)f''\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{7}{2}} {\dfrac{{12}}{{49}}x\left( {x + 2} \right)dx} = \dfrac{{13}}{2}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.