Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\)là tam giác vuông cân tại \(A,\,AB = a\). Biết

Câu hỏi số 711037:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\)_cóđáy \(ABC\)là tam giác vuông cân tại \(A,\,AB = a\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(30^\circ \), thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng.

A. \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{{12}}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{{36}}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{4}{a^3}\).

D. \(\dfrac{{3\sqrt 6 }}{4}{a^3}\).

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:711037

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\)

\(\Delta ABC\)vuông cân tại \(A \Rightarrow AH \bot BC\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'HA} \right) \Rightarrow \left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'H,AH} \right) = \widehat {A'HA}\)

Xét \(\Delta A'HA\) vuông tại \(A\) có \(AH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\):

\(\tan \angle A'HA = \dfrac{{AA'}}{{AH}} \Rightarrow AA' = AH\tan 30^\circ = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Vậy \(V = {S_{ABC}}.AA' = \dfrac{1}{2}{a^2}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.