Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{3} = \dfrac{{z +

Câu hỏi số 711038:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{3} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 5}}\) và \({d_2}:\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\). Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\), gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, phương trình của \(\left( S \right)\) là

A. \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\).

B. \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 6\).

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\).

D. \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 6\).

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:711038

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có:

\({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{1} = \dfrac{{y - 4}}{3} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 5}} \Leftrightarrow {d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t + 2\\y = 3t + 4\\z = - 5t - 3\end{array} \right.\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;3; - 5} \right)\)

\({d_2}:\dfrac{{x + 2}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t - 2\\y = - t - 2\\z = - t - 1\end{array} \right.\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1; - 1; - 1} \right)\)

Đường tròn vừa tiếp xúc với hai đường thẳng \({d_1}\), \({d_2}\) và có bán kính nhỏ nhất có tâm là trung điểm của đoạn thẳng vuông góc chung và đường kính bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\).

Gọi \(AB\) là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) với \(A\left( {{t_1} + 2;3{t_1} + 4; - 5{t_1} - 3} \right) \in {d_1}\) và \(B\left( {{t_2} - 2; - {t_2} - 2; - {t_2} - 1} \right) \in {d_2}\)

Suy ra \(\overrightarrow {AB} = \left( {{t_2} - {t_1} - 4; - {t_2} - 3{t_1} - 6; - {t_2} + 5{t_1} + 2} \right)\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_1}} \\\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_2}} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_2} - {t_1} - 4 + 3\left( { - {t_2} - 3{t_1} - 6} \right) - 5\left( { - {t_2} + 5{t_1} + 2} \right) = 0\\{t_2} - {t_1} - 4 - \left( { - {t_2} - 3{t_1} - 6} \right) - \left( { - {t_2} + 5{t_1} + 2} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 35{t_1} + 3{t_2} = 32\\ - 3{t_1} + 3{t_2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = - 1\\{t_2} = - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Nên \(A\left( {1;1;2} \right)\), \(B\left( { - 3; - 1;0} \right)\), \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2; - 2} \right)\)

Gọi \(I\) và \(R\) là tâm và bán kính của đường tròn cần tìm

Khi đó \(I\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) và \(R = \dfrac{{AB}}{2}\)

Suy ra \(I\left( { - 1;0;1} \right),R = \sqrt 6 \)

Phương trình đường tròn cần tìm là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.