Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{2}{{{x^3}}} + \ln \dfrac{{x + 3}}{{x - 3}}\). Có bao nhiêu số nguyên

Câu hỏi số 711039:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{2}{{{x^3}}} + \ln \dfrac{{x + 3}}{{x - 3}}\). Có bao nhiêu số nguyên \(a \in \left( { - \infty ;2100} \right)\) thoả mãn \(f\left( {a - 2024} \right) + f\left( {6a - 27} \right) \ge 0\)?

A. 2096.

B. 288.

C. 1807.

D. 360.

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:711039

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Tập xác định \(D = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).

Ta thấy \(\forall \,x \in D\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} - x \in D\\f\left( { - x} \right) = \dfrac{2}{{{{\left( { - x} \right)}^3}}} + \ln \dfrac{{ - x + 3}}{{ - x - 3}} = - \dfrac{2}{{{x^3}}} + \ln \dfrac{{x - 3}}{{x + 3}} = - \dfrac{2}{{{x^3}}} - \ln \dfrac{{x + 3}}{{x - 3}} = - f\left( x \right)\end{array} \right.\).

Suy ra hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Lại có \(f'\left( x \right) = - \dfrac{6}{{{x^4}}} - \dfrac{6}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}.\dfrac{1}{{\dfrac{{x + 3}}{{x - 3}}}} < 0,\,\forall x \in D\).

Do đó hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\).

Để tồn tại \(f\left( {a - 2024} \right),\,f\left( {6a - 27} \right)\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}a - 2024 \notin \left[ { - 3;3} \right]\\6a - 27 \notin \left[ { - 3;3} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a - 2024 < - 3\\a - 2024 > 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}6a - 27 < - 3\\6a - 27 > 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a < 2021\\a > 2027\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a < 4\\a > 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a < 4\\5 < a < 2021\\a > 2027\end{array} \right.\).

+) TH1: \(a < 4\) thì \(a - 2024 < - 3\) và \(6a - 27 < - 3\).

Bảng biến thiên hàm số đã cho trên \(\left( { - \infty ; - 3} \right)\)như sau

Khi đó \(f\left( {a - 2024} \right) < 0,\,f\left( {6a - 27} \right) < 0 \Rightarrow f\left( {a - 2024} \right) + f\left( {6a - 27} \right) < 0\).

Suy ra \(a < 4\) không thoả mãn bài toán.

+) TH2: \(5 < a < 2021\) thì \(a - 2024 < - 3\) và \( - 6a + 27 < - 3\).

Khi đó \(f\left( {a - 2024} \right) + f\left( {6a - 27} \right) \ge 0 \Leftrightarrow f\left( {a - 2024} \right) \ge f\left( { - 6a + 27} \right) \Leftrightarrow a \le 293\).

Suy ra \(5 < a \le 293\).

+) TH3: \(a > 2027\) thì \(a - 2024 > 3\) và \(6a - 27 > 3\).

Bảng biến thiên hàm số đã cho trên \(\left( {3; + \infty } \right)\)như sau

Khi đó \(f\left( {a - 2024} \right) > 0,\,f\left( {6a - 27} \right) > 0 \Rightarrow f\left( {a - 2024} \right) + f\left( {6a - 27} \right) > 0\).

Suy ra \(a > 2027\) thoả mãn bài toán.

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}5 < a \le 293\\2027 < a < 2100\end{array} \right.\) hay có \(360\) giá trị nguyên của \(a \in \left( { - \infty ;2100} \right)\) thoả mãn \(f\left( {a - 2024} \right) + f\left( {6a - 27} \right) \ge 0\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.