Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Xét phương trình bậc hai \(a{z^2} + bz + c = 0\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\) có hai
Xét phương trình bậc hai \(a{z^2} + bz + c = 0\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\) có phần ảo khác \(0\) và \(\left| {2{z_1} - \dfrac{1}{9}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\). Giả sử \(\left| {{z_1}} \right| = \dfrac{1}{{\sqrt k }}\) và \(w\) là số phức thoả mãn \(c{w^2} + bw + a = 0\), có bao nhiêu số nguyên dương \(k\) sao cho ứng với mỗi \(k\) tồn tại đúng \(9\) số phức \({z_3}\) có phần ảo nguyên, \({z_3} - w\) là số thuần ảo và \(\left| {{z_3}} \right| \le \left| w \right|\)?
Đáp án đúng là: B
Đặt \({z_1} = x + iy,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow {z_2} = x - iy\).
Ta có \(\left| {2{z_1} - \dfrac{1}{9}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \Leftrightarrow {\left( {2x - \dfrac{1}{9}} \right)^2} + 4{y^2} = 4{y^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{18}}\).
\( \Rightarrow {z_1} = \dfrac{1}{{18}} + yi;\,{z_2} = \dfrac{1}{{18}} - yi\).
Ta thấy \(w\) là số phức thoả mãn \(c{w^2} + bw + a = 0\) nên \(w = \dfrac{1}{z}\).
\( \Rightarrow \dfrac{1}{w} = z\) có phần thực là \(\dfrac{1}{{18}}\).
\( \Rightarrow w = \dfrac{1}{z} = k.\overline z \Rightarrow w\) có phần thực là \(\dfrac{k}{{18}}\).
Do \({z_3} - w\) là số thuần ảo nên \({z_3}\) có phần thực là \(\dfrac{k}{{18}}\).
Khi đó \({z_3} = \dfrac{k}{{18}} + mi,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\). Do ứng với mỗi \(k\) tồn tại đúng \(9\) số phức \({z_3}\) nên \(m \in \left\{ { \pm 1;\, \pm 2;\, \pm 3;\, \pm 4;\,0} \right\}\).(1)
Ta lại có \(\left| {{z_3}} \right| \le \left| w \right| = \dfrac{1}{{\left| z \right|}} = \sqrt k \Rightarrow {\left| {{z_3}} \right|^2} \le k \Leftrightarrow \dfrac{{{k^2}}}{{324}} + {m^2} \le k \Leftrightarrow {m^2} \le k - \dfrac{{{k^2}}}{{324}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy có \(22\) số nguyên dương \(k\).
Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
