Xét phương trình bậc hai \(a{z^2} + bz + c = 0\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\) có hai

Câu hỏi số 711040:

Vận dụng cao

Xét phương trình bậc hai \(a{z^2} + bz + c = 0\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R},a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\) có phần ảo khác \(0\) và \(\left| {2{z_1} - \dfrac{1}{9}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\). Giả sử \(\left| {{z_1}} \right| = \dfrac{1}{{\sqrt k }}\) và \(w\) là số phức thoả mãn \(c{w^2} + bw + a = 0\), có bao nhiêu số nguyên dương \(k\) sao cho ứng với mỗi \(k\) tồn tại đúng \(9\) số phức \({z_3}\) có phần ảo nguyên, \({z_3} - w\) là số thuần ảo và \(\left| {{z_3}} \right| \le \left| w \right|\)?

A. 23.

B. 22.

C. 11.

D. 12.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:711040

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \({z_1} = x + iy,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow {z_2} = x - iy\).

Ta có \(\left| {2{z_1} - \dfrac{1}{9}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| \Leftrightarrow {\left( {2x - \dfrac{1}{9}} \right)^2} + 4{y^2} = 4{y^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{18}}\).

\( \Rightarrow {z_1} = \dfrac{1}{{18}} + yi;\,{z_2} = \dfrac{1}{{18}} - yi\).

Ta thấy \(w\) là số phức thoả mãn \(c{w^2} + bw + a = 0\) nên \(w = \dfrac{1}{z}\).

\( \Rightarrow \dfrac{1}{w} = z\) có phần thực là \(\dfrac{1}{{18}}\).

\( \Rightarrow w = \dfrac{1}{z} = k.\overline z \Rightarrow w\) có phần thực là \(\dfrac{k}{{18}}\).

Do \({z_3} - w\) là số thuần ảo nên \({z_3}\) có phần thực là \(\dfrac{k}{{18}}\).

Khi đó \({z_3} = \dfrac{k}{{18}} + mi,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\). Do ứng với mỗi \(k\) tồn tại đúng \(9\) số phức \({z_3}\) nên \(m \in \left\{ { \pm 1;\, \pm 2;\, \pm 3;\, \pm 4;\,0} \right\}\).(1)

Ta lại có \(\left| {{z_3}} \right| \le \left| w \right| = \dfrac{1}{{\left| z \right|}} = \sqrt k \Rightarrow {\left| {{z_3}} \right|^2} \le k \Leftrightarrow \dfrac{{{k^2}}}{{324}} + {m^2} \le k \Leftrightarrow {m^2} \le k - \dfrac{{{k^2}}}{{324}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy có \(22\) số nguyên dương \(k\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.