Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A\), \(AB = 2a\), mặt bên là tam giác

Câu hỏi số 711041:

Nhận biết

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A\), \(AB = 2a\), mặt bên là tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

A. \(\dfrac{{25\pi }}{9}{a^2}\).

B. \(\dfrac{{25\pi }}{3}{a^2}\).

C. \(\dfrac{{28\pi }}{3}{a^2}\).

D. \(\dfrac{{28\pi }}{9}{a^2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:711041

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Do \(\Delta ABC\)vuông cân tại \(A\) nên \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Suy ra \(IB = \dfrac{{BC}}{2} = a\sqrt 2 .\)

Dựng đường thẳng \(d \bot (ABC)\) tại \(I\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Do \(\Delta SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot AB;\quad SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SAB.\)

Ta có \(EH = \dfrac{1}{3}SH = \dfrac{1}{3}.2a\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot AB\\IH \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow IH \bot (SAB)\)

Dựng đường thẳng \(d' \bot \left( {SAB} \right) \equiv E \Rightarrow d'//IH\), \(d'\)cắt \(d\) tại \(O\).

Khi đó \(O\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bán kính \(R = OB\).

Ta có \(OEHI\) là hình chữ nhật nên \(OI = EH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

\( \Rightarrow {R^2} = O{B^2} = O{I^2} + I{B^2} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = \dfrac{{7{a^2}}}{3} \Rightarrow R = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}.\)

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{28{a^2}}}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.