Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A\), \(AB = 2a\), mặt bên là tam giác

Câu hỏi số 711041:

Nhận biết

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A\), \(AB = 2a\), mặt bên là tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

A. \(\dfrac{{25\pi }}{9}{a^2}\).

B. \(\dfrac{{25\pi }}{3}{a^2}\).

C. \(\dfrac{{28\pi }}{3}{a^2}\).

D. \(\dfrac{{28\pi }}{9}{a^2}\).

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:711041

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Do \(\Delta ABC\)vuông cân tại \(A\) nên \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Suy ra \(IB = \dfrac{{BC}}{2} = a\sqrt 2 .\)

Dựng đường thẳng \(d \bot (ABC)\) tại \(I\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Do \(\Delta SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot AB;\quad SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi \(E\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SAB.\)

Ta có \(EH = \dfrac{1}{3}SH = \dfrac{1}{3}.2a\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot AB\\IH \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow IH \bot (SAB)\)

Dựng đường thẳng \(d' \bot \left( {SAB} \right) \equiv E \Rightarrow d'//IH\), \(d'\)cắt \(d\) tại \(O\).

Khi đó \(O\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) bán kính \(R = OB\).

Ta có \(OEHI\) là hình chữ nhật nên \(OI = EH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

\( \Rightarrow {R^2} = O{B^2} = O{I^2} + I{B^2} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = \dfrac{{7{a^2}}}{3} \Rightarrow R = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}.\)

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\) là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{28{a^2}}}{3}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.