Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;6; - 1} \right)\), \(B\left( {2;\, - 4;\, - 1} \right)\) và

Câu hỏi số 711042:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;6; - 1} \right)\), \(B\left( {2;\, - 4;\, - 1} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;\,2;\, - 1} \right)\) đi qua điểm \(A\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) (với \(c > 0\)) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(IAM\) là tam giác tù, có diện tích bằng \(2\sqrt 7 \) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(IA\) lớn nhất. Giá trị của \(a + b + c\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {1;\,\dfrac{3}{2}} \right)\).

B. \(\left( {\,\dfrac{3}{2};2} \right)\).

C. \(\left( {\dfrac{5}{2};3} \right)\).

D. \(\left( {2;\,\dfrac{5}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:711042

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;\,2;\, - 1} \right)\) bán kính \(R = IA = 4\)

Đặt \(KA = x,\,IK = y\).

Tam giác \(IAM\)có diện tích bằng: \(IK.IA = 2\sqrt 7 \Leftrightarrow xy = 2\sqrt 7 \Rightarrow y = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{x}\).

Vì tam giác \(IAK\) vuông tại \(K\) có \(IA = 4\) nên:

\({x^2} + {y^2} = 16 \Rightarrow {x^2} + \dfrac{{28}}{{{x^2}}} = 16\)\( \Leftrightarrow {x^4} - 16{x^2} + 28 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\{x^2} = 14\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = \sqrt {14} \end{array} \right.\).

Vì \(IAM\) là tam giác tù nên \(x = \sqrt 2 \) không thỏa mãn. Do đó, \(x = \sqrt {14} \)\( \Rightarrow y = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{{\sqrt {14} }} = \sqrt 2 \).

Suy ra, \(AM\) là đường sinh của hình nón đỉnh \(A\), \(M\) thuộc đường tròn đáy tâm \(H\)

\(\tan \widehat {MAH} = \dfrac{{IK}}{{AK}} = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{{\sqrt 7 }}\)\( \Rightarrow \cos \widehat {MAH} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }} = \dfrac{{AH}}{{2x}} \Rightarrow AH = 7\).

Suy ra, bán kính đường tròn đáy của hình nón là:

\(r = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {14} } \right)}^2} - {7^2}} = \sqrt 7 \)\( \Rightarrow IH = 7 - 4 = 3\)\( \Rightarrow \overrightarrow {HI} = \dfrac{3}{7}\overrightarrow {HA} \)\( \Rightarrow H\left( {1;\, - 1;\, - 1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {0; - 7;0} \right)\).

Suy ra, \(M\) thuộc mặt phẳng đi qua \(H\), có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AH} = \left( {0; - 7;0} \right)\), có phương trình: \(\left( P \right):\,y + 1 = 0\).

Gọi \(B'\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) trên mặt phẳng \(\left( P \right):\,y + 1 = 0\)\( \Rightarrow B'\left( {2; - 1; - 1} \right)\)\( \Rightarrow IB' = \sqrt {10} < R\)

\(d\left( {AI,BM} \right) = d\left( {AI,\,B'M} \right) = d\left( {H,\,B'M} \right) \le HB'\).

Suy ra, \(d\left( {AI,BM} \right)\) lớn nhất bằng \(HB'\) đạt được khi \(HB' \bot MB'\)\( \Rightarrow M\left( {a; - 1;c} \right)\)

\(\overrightarrow {HB'} = \left( {1;0;0} \right)\), \(\overrightarrow {MB'} = \left( {2 - a;0; - 1 - c} \right)\)

\(\overrightarrow {HB'} .\overrightarrow {MB'} = 0 \Leftrightarrow 2 - a = 0 \Leftrightarrow a = 2\)\( \Rightarrow M\left( {2; - 1;c} \right)\)

Vì \(HM = r = \sqrt 7 \)\( \Rightarrow 1 + {\left( {c + 1} \right)^2} = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c + 1 = \sqrt 6 \\c + 1 = - \sqrt 6 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = - 1 + \sqrt 6 \,\left( {TM} \right)\\c = - 1 - \sqrt 6 \,\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(a + b + c = 2 - 1 - 1 + \sqrt 6 \approx 2,45\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.