Tổng các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = mx + \dfrac{1}{x}\) có cực trị và khoảng cách từ
Tổng các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = mx + \dfrac{1}{x}\) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng \(\dfrac{2}{{\sqrt {17} }}\):
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(( - \infty ;0) \cup (0; + \infty )\).
Ta có: \({y^\prime } = m - \dfrac{1}{{{x^2}}},x \ne 0\).
Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình \({y^\prime } = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 0 .
Với \(m > 0\) thì \({y^\prime } = 0 \Leftrightarrow m - \dfrac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x_1} = - \dfrac{1}{{\sqrt m }} < {x_2} = \dfrac{1}{{\sqrt m }}\) và điểm cực tiểu của hàm số là
\(A\left( {\dfrac{1}{{\sqrt m }};2\sqrt m } \right)\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{1}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{x} = 0\) nên \((d):y = mx\) là đường cận xiên.
\(d(A,(d)) = \dfrac{2}{{\sqrt {17} }} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m\dfrac{1}{{\sqrt m }} - 2\sqrt m } \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {17} }} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt m }}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {17} }}\)
\(\sqrt {17.m} = 2\sqrt {{m^2} + 1} \Leftrightarrow 4{m^2} - 17m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\{\rm{ }}m = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)
Tổng các giá trị của \(m\) là: \(4 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{17}}{{16}} = 4,25\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com