Tổng các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = mx + \dfrac{1}{x}\) có cực trị và khoảng cách từ

Câu hỏi số 713006:

Vận dụng

Tổng các giá trị của \(m\) để hàm số \(y = mx + \dfrac{1}{x}\) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng \(\dfrac{2}{{\sqrt {17} }}\):

Xem lời giải

Câu hỏi:713006

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(( - \infty ;0) \cup (0; + \infty )\).

Ta có: \({y^\prime } = m - \dfrac{1}{{{x^2}}},x \ne 0\).

Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình \({y^\prime } = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 0 .

Với \(m > 0\) thì \({y^\prime } = 0 \Leftrightarrow m - \dfrac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x_1} = - \dfrac{1}{{\sqrt m }} < {x_2} = \dfrac{1}{{\sqrt m }}\) và điểm cực tiểu của hàm số là

\(A\left( {\dfrac{1}{{\sqrt m }};2\sqrt m } \right)\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{1}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{x} = 0\) nên \((d):y = mx\) là đường cận xiên.

\(d(A,(d)) = \dfrac{2}{{\sqrt {17} }} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m\dfrac{1}{{\sqrt m }} - 2\sqrt m } \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {17} }} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt m }}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {17} }}\)

\(\sqrt {17.m} = 2\sqrt {{m^2} + 1} \Leftrightarrow 4{m^2} - 17m + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\{\rm{ }}m = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)

Tổng các giá trị của \(m\) là: \(4 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{17}}{{16}} = 4,25\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.