Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật tâm \(O,{\rm{ }}AB = a,{\rm{ }}BC = a\sqrt 3 \), chân

Câu hỏi số 718526:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật tâm \(O,{\rm{ }}AB = a,{\rm{ }}BC = a\sqrt 3 \), chân đường cao hình chóp là điểm \(H\) thuộc cạnh \(AD\) sao cho \(DH = 2AH\), góc giữa \(SD\) và mặt phẳng đáy bằng \(60^\circ \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(AC\) bằng bao nhiêu?

A. \(\dfrac{{3a}}{4}\)

B. \(\dfrac{a}{2}\)

C. \(\dfrac{{3a}}{2}\)

D. \(\dfrac{a}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:718526

Phương pháp giải

Đưa khoảng cách giữa hai đường thẳng về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\) \( \Rightarrow MO//SB\)

\( \Rightarrow d\left( {SB,AC} \right) = d\left( {SB,\left( {MAC} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {MAC} \right)} \right)\)

Ta có \(d\left( {B,\left( {MAC} \right)} \right).{S_{MAC}} = d\left( {M,ABCD} \right).{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}SH.\dfrac{1}{2}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{4}.2a.a.a\sqrt 3 = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^3}\)

\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {MAC} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{2.{S_{MAC}}}}\) (1)

Ta có \(DH = 2HA = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a\)

\(\left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SD,HD} \right) = \widehat {SDH} = 60^\circ \Rightarrow SH = HD.\tan 60^\circ = 2a\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow SD = \sqrt {H{D^2} + S{H^2}} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}a\\ \Rightarrow MD = \dfrac{1}{2}SD = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a\end{array}\)

Do \(CD \bot AD,CD \bot SD \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\)

\( \Rightarrow MC = \sqrt {C{D^2} + M{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a} \right)}^2} + {a^2}} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{3}a\)

\(MA = \sqrt {M{D^2} + A{D^2} - 2MD.AD.\cos 60^\circ } = \dfrac{{\sqrt {21} }}{3}a\)

\(\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} = 2a\\p = \dfrac{{MA + MC + AC}}{2}\\ \Rightarrow {S_{MAC}} = \sqrt {p\left( {p - MA} \right)\left( {p - MC} \right)\left( {p - AC} \right)} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}{a^2}\end{array}\)

Thay (1) suy ra \( \Rightarrow d\left( {B,\left( {MAC} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{2.\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}{a^2}}} = \dfrac{3}{4}a\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.