Cho \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}dx = a + b\sqrt 3 +

Câu hỏi số 718527:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}dx = a + b\sqrt 3 + c\pi } {\rm{ (*)}}\). Biết rằng, tồn tại duy nhất bộ ba số hữu tỉ \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) thỏa mãn \((*)\). Tổng \(a + b + c\) có giá trị bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 31/12

Xem lời giải

Câu hỏi:718527

Phương pháp giải

Đưa về tích phân của các hàm cơ bản.

Giải chi tiết

\({\left( {2\tan x + \cot x} \right)^2} = 4{\tan ^2}x + 4\tan x\cot x + {\cot ^2}x = \dfrac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1\)

\(\begin{array}{l}\int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}dx = \int\limits_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {\dfrac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - 1} \right)dx} } \\ = \left. {\left( {4\tan x - \cot x - x} \right)} \right|_{\dfrac{\pi }{6}}^{\dfrac{\pi }{4}}\\ = \left( {3 - \dfrac{\pi }{4}} \right) - \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} - \dfrac{\pi }{6}} \right) = 3 - \dfrac{1}{3}.\sqrt 3 - \dfrac{1}{{12}}\pi \\ \Rightarrow a + b + c = 3 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{{12}} = \dfrac{{31}}{{12}}\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.