Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hai đường cao \(AM\) và \(BN\)

Câu hỏi số 720162:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hai đường cao \(AM\) và \(BN\) trong tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\left( {M \in BC,N \in AC} \right)\).

a) Chứng minh tứ giác \(ABMN\) nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \(NH \cdot MB = MH \cdot NA\).

c) Gọi \(P\) là giao điểm của tia \(CH\) với \(AB\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{AM}}{{HM}} + \dfrac{{BN}}{{HN}} + \dfrac{{CP}}{{HP}}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:720162

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Do AM và BN là hai đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(\angle AMB = \angle ANB = {90^0}\)

Mà hai góc này ở vị trí kề nhau, cùng nhìn AB dưới góc \({90^0}\)

Suy ra A, N, M, B cùng thuộc một đường tròn.

Vậy tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn.

b) Xét \(\Delta AHN\) và \(\Delta BHM\) có:

\(\angle AHN = \angle BHM\) (đối đỉnh)

\(\angle ANH = \angle BMH\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta AHN \sim \Delta BHM\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{BM}} = \dfrac{{HN}}{{HM}} \Rightarrow NH.MB = MH.NA\) (đpcm)

c) Đặt \({S_1} = {S_{\Delta HBC}},{S_2} = {S_{\Delta AHB}},{S_3} = {S_{\Delta AHC}},S = {S_{\Delta ABC}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = {S_1} + {S_2} + {S_3}\\\dfrac{{{S_{\Delta HBC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}HM.BC}}{{\dfrac{1}{2}AM.BC}} = \dfrac{{HM}}{{AM}} = \dfrac{{{S_1}}}{S} \Rightarrow \dfrac{S}{{{S_1}}} = \dfrac{{AM}}{{HM}}\end{array}\)

Tương tự ta có \(\dfrac{S}{{{S_2}}} = \dfrac{{CP}}{{HP}},\dfrac{S}{{{S_3}}} = \dfrac{{BN}}{{HN}}\)

\( \Rightarrow Q = \dfrac{{AM}}{{HM}} + \dfrac{{BN}}{{HN}} + \dfrac{{CP}}{{HP}} = \dfrac{S}{{{S_1}}} + \dfrac{S}{{{S_2}}} + \dfrac{S}{{{S_3}}} = S\left( {\dfrac{1}{{{S_1}}} + \dfrac{1}{{{S_2}}} + \dfrac{1}{{{S_3}}}} \right)\)

Do \({S_1},{S_2},{S_3} > 0 \Rightarrow {S_1} + {S_2} + {S_3} \ge 3\sqrt[3]{{{S_1}{S_2}{S_3}}}\) (Áp dụng bất đẳng thức Cosi)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} + {S_2} + {S_3} \ge 3\sqrt[3]{{{S_1}{S_2}{S_3}}}\\\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{S_1}{S_2}{S_3}}}}} \ge \dfrac{3}{{{S_1} + {S_2} + {S_3}}} = \dfrac{3}{S}\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{S_1}}} + \dfrac{1}{{{S_2}}} + \dfrac{1}{{{S_3}}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{S_1}{S_2}{S_3}}}}} \ge 3.\dfrac{3}{S} = \dfrac{9}{S}\)

\( \Rightarrow Q \ge S.\dfrac{9}{S} = 9\)

Dấu “=” có khi \({S_1} = {S_2} = {S_3} \Rightarrow \Delta ABC\) đều

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.