Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hai đường cao \(AM\) và \(BN\)
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Hai đường cao \(AM\) và \(BN\) trong tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\left( {M \in BC,N \in AC} \right)\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABMN\) nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh \(NH \cdot MB = MH \cdot NA\).
c) Gọi \(P\) là giao điểm của tia \(CH\) với \(AB\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{AM}}{{HM}} + \dfrac{{BN}}{{HN}} + \dfrac{{CP}}{{HP}}\)
Quảng cáo
Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do AM và BN là hai đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(\angle AMB = \angle ANB = {90^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí kề nhau, cùng nhìn AB dưới góc \({90^0}\)
Suy ra A, N, M, B cùng thuộc một đường tròn.
Vậy tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn.
b) Xét \(\Delta AHN\) và \(\Delta BHM\) có:
\(\angle AHN = \angle BHM\) (đối đỉnh)
\(\angle ANH = \angle BMH\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta AHN \sim \Delta BHM\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{BM}} = \dfrac{{HN}}{{HM}} \Rightarrow NH.MB = MH.NA\) (đpcm)
c) Đặt \({S_1} = {S_{\Delta HBC}},{S_2} = {S_{\Delta AHB}},{S_3} = {S_{\Delta AHC}},S = {S_{\Delta ABC}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = {S_1} + {S_2} + {S_3}\\\dfrac{{{S_{\Delta HBC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}HM.BC}}{{\dfrac{1}{2}AM.BC}} = \dfrac{{HM}}{{AM}} = \dfrac{{{S_1}}}{S} \Rightarrow \dfrac{S}{{{S_1}}} = \dfrac{{AM}}{{HM}}\end{array}\)
Tương tự ta có \(\dfrac{S}{{{S_2}}} = \dfrac{{CP}}{{HP}},\dfrac{S}{{{S_3}}} = \dfrac{{BN}}{{HN}}\)
\( \Rightarrow Q = \dfrac{{AM}}{{HM}} + \dfrac{{BN}}{{HN}} + \dfrac{{CP}}{{HP}} = \dfrac{S}{{{S_1}}} + \dfrac{S}{{{S_2}}} + \dfrac{S}{{{S_3}}} = S\left( {\dfrac{1}{{{S_1}}} + \dfrac{1}{{{S_2}}} + \dfrac{1}{{{S_3}}}} \right)\)
Do \({S_1},{S_2},{S_3} > 0 \Rightarrow {S_1} + {S_2} + {S_3} \ge 3\sqrt[3]{{{S_1}{S_2}{S_3}}}\) (Áp dụng bất đẳng thức Cosi)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_1} + {S_2} + {S_3} \ge 3\sqrt[3]{{{S_1}{S_2}{S_3}}}\\\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{S_1}{S_2}{S_3}}}}} \ge \dfrac{3}{{{S_1} + {S_2} + {S_3}}} = \dfrac{3}{S}\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{{S_1}}} + \dfrac{1}{{{S_2}}} + \dfrac{1}{{{S_3}}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{{S_1}{S_2}{S_3}}}}} \ge 3.\dfrac{3}{S} = \dfrac{9}{S}\)
\( \Rightarrow Q \ge S.\dfrac{9}{S} = 9\)
Dấu “=” có khi \({S_1} = {S_2} = {S_3} \Rightarrow \Delta ABC\) đều
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
