Tìm tổng các số nguyên dương \(m\) để \(\sqrt {{x^2} - 2x - 3} + \sqrt {8 + 2x - {x^2}} >

Câu hỏi số 720277:

Vận dụng

Tìm tổng các số nguyên dương \(m\) để \(\sqrt {{x^2} - 2x - 3} + \sqrt {8 + 2x - {x^2}} > m\,\,\,\left( * \right)\) có nghiệm.

A. 6

B. 10

C. 21

D. 3

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:720277

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x - 3 \ge 0\\8 + 2x - {x^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 3\end{array} \right.\\ - 2 \le x \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 \le x \le - 1\\3 \le x \le 4\end{array} \right.\).

Đặt \(t = {x^2} - 2x \Rightarrow t' = 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên \( \Rightarrow \) Tập giá trị của \(t\) là \(t \in \left[ {3;8} \right]\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow m < \sqrt {t - 3} + \sqrt {8 - t} \,\,\,\left( 1 \right)\) và đặt \(f\left( t \right) = \sqrt {t - 3} + \sqrt {8 - t} \)

Để \(\left( * \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có nghiệm \(t \in \left[ {3;8} \right] \Leftrightarrow m < \mathop {\max }\limits_{\left[ {3;8} \right]} f\left( t \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \sqrt {t - 3} + \sqrt {8 - t} \) trên \(\left[ {3;8} \right]\) có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {t - 3} }} - \dfrac{1}{{2\sqrt {8 - t} }}\).

Cho \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {8 - t} = \sqrt {t - 3} \Leftrightarrow 8 - t = t - 3 \Leftrightarrow t = \dfrac{{11}}{2}\).

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(m < \sqrt {10} \) sẽ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Mà m nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1,2,3} \right\} \Rightarrow \sum\limits_{}^{} m = 6\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.