Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao AH và BE cắt nhau tại D.
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao AH và BE cắt nhau tại D. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh ABHE là tứ giác nội tiếp.
b) Kẻ DK vuông góc với \(AI(K \in AI)\). Chứng minh \(AK \cdot HI = AH \cdot DK\) và \(B{C^2} = 4AI \cdot KI\).
c) Hai tiếp tuyến cúa đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại M. Chứng minh \(\angle {BAI} = \angle {CAM}\).
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do \(AH,BE\) là đường cao nên \(\angle AHB = \angle AEB = {90^0}\)
Mà E, H là hai đỉnh kề nhau, cùng nhìn AB dưới góc \({90^0}\)
Nên A,B,H,E cùng thuộc đường tròn đường kính AB hay ABHE là tứ giác nội tiếp
b) Xét \(\Delta ADK\) và \(\Delta AIH\) có \(\angle HAI\) chung
\(\angle AKD = \angle AHI = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta ADK\)~ \(\Delta AIH\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{DK}}{{HI}} = \dfrac{{AK}}{{AH}} \Rightarrow AH.DK = AK.HI\)
Gọi N là trung điểm AD
\(\angle AED = \angle AKD = {90^0}\) nên A,E,K,D cùng thuộc đường tròn tâm N
\( \Rightarrow \Delta NDE\) cân tại N \( \Rightarrow \angle NED = \angle NDE = \angle HDB\)
Tương tự \(IE = IB = IC = \dfrac{1}{2}BC \Rightarrow \Delta IBE\) cân tại I \( \Rightarrow \angle DEI = \angle HBD\)
\( \Rightarrow \angle NED + \angle DEI = \angle HDB + \angle DBI = {90^0}\)
\( \Rightarrow IE \bot EN \Rightarrow IE\) là tiếp tuyến của (N)
\( \Rightarrow \Delta IEK\)~ \(\Delta IAE\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{IE}}{{IA}} = \dfrac{{IK}}{{IE}} \Rightarrow IK.IA = I{E^2} = \dfrac{1}{4}B{C^2}\)
\( \Leftrightarrow B{C^2} = 4IK.IA\)
c) Kẻ đường kính AQ của (O) \( \Rightarrow \angle ACQ = {90^0}\)
Ta có \(\angle ABP = \angle ABC + \angle CBP = \angle ABC + \angle CAQ + \angle QAP = {90^0} + \angle QAP\) (1)
Do \(\left\{ \begin{array}{l}MC = MB\\OC = OB\end{array} \right. \Rightarrow OM\) là trung trực của BC tại I
\( \Rightarrow O{B^2} = O{A^2} = OI.OM \Rightarrow \Delta OAI\)~ \(\Delta OMA\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle OIA = \angle OAM = \angle QAP\)
Kết hợp (1) \( \Rightarrow \angle ABP = {90^0} + \angle OIA \left( 2 \right)\)
Lại có \(\angle AIC = \angle OIC + \angle OIA = {90^0} + \angle OIA\)
\( \Rightarrow \angle AIC = \angle ABP\)
Xét \(\Delta AIC\) và \(\Delta ABP\) có \(\angle AIC = \angle ABP\) và \(\angle ACB = \angle APB\) (cùng chắn AB)
\( \Rightarrow \Delta AIC\)~ \(\Delta ABP\left( {g.g} \right) \Rightarrow \angle IAC = \angle BAP\)
Vậy \(\angle {BAI} = \angle {CAM}\)
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
