Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao AH và BE cắt nhau tại D.
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao AH và BE cắt nhau tại D. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh ABHE là tứ giác nội tiếp.
b) Kẻ DK vuông góc với \(AI(K \in AI)\). Chứng minh \(AK \cdot HI = AH \cdot DK\) và \(B{C^2} = 4AI \cdot KI\).
c) Hai tiếp tuyến cúa đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại M. Chứng minh \(\angle {BAI} = \angle {CAM}\).
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do \(AH,BE\) là đường cao nên \(\angle AHB = \angle AEB = {90^0}\)
Mà E, H là hai đỉnh kề nhau, cùng nhìn AB dưới góc \({90^0}\)
Nên A,B,H,E cùng thuộc đường tròn đường kính AB hay ABHE là tứ giác nội tiếp
b) Xét \(\Delta ADK\) và \(\Delta AIH\) có \(\angle HAI\) chung
\(\angle AKD = \angle AHI = {90^0}\)
\( \Rightarrow \Delta ADK\)~ \(\Delta AIH\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{DK}}{{HI}} = \dfrac{{AK}}{{AH}} \Rightarrow AH.DK = AK.HI\)
Gọi N là trung điểm AD
\(\angle AED = \angle AKD = {90^0}\) nên A,E,K,D cùng thuộc đường tròn tâm N
\( \Rightarrow \Delta NDE\) cân tại N \( \Rightarrow \angle NED = \angle NDE = \angle HDB\)
Tương tự \(IE = IB = IC = \dfrac{1}{2}BC \Rightarrow \Delta IBE\) cân tại I \( \Rightarrow \angle DEI = \angle HBD\)
\( \Rightarrow \angle NED + \angle DEI = \angle HDB + \angle DBI = {90^0}\)
\( \Rightarrow IE \bot EN \Rightarrow IE\) là tiếp tuyến của (N)
\( \Rightarrow \Delta IEK\)~ \(\Delta IAE\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{IE}}{{IA}} = \dfrac{{IK}}{{IE}} \Rightarrow IK.IA = I{E^2} = \dfrac{1}{4}B{C^2}\)
\( \Leftrightarrow B{C^2} = 4IK.IA\)
c) Kẻ đường kính AQ của (O) \( \Rightarrow \angle ACQ = {90^0}\)
Ta có \(\angle ABP = \angle ABC + \angle CBP = \angle ABC + \angle CAQ + \angle QAP = {90^0} + \angle QAP\) (1)
Do \(\left\{ \begin{array}{l}MC = MB\\OC = OB\end{array} \right. \Rightarrow OM\) là trung trực của BC tại I
\( \Rightarrow O{B^2} = O{A^2} = OI.OM \Rightarrow \Delta OAI\)~ \(\Delta OMA\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle OIA = \angle OAM = \angle QAP\)
Kết hợp (1) \( \Rightarrow \angle ABP = {90^0} + \angle OIA \left( 2 \right)\)
Lại có \(\angle AIC = \angle OIC + \angle OIA = {90^0} + \angle OIA\)
\( \Rightarrow \angle AIC = \angle ABP\)
Xét \(\Delta AIC\) và \(\Delta ABP\) có \(\angle AIC = \angle ABP\) và \(\angle ACB = \angle APB\) (cùng chắn AB)
\( \Rightarrow \Delta AIC\)~ \(\Delta ABP\left( {g.g} \right) \Rightarrow \angle IAC = \angle BAP\)
Vậy \(\angle {BAI} = \angle {CAM}\)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
