Giải phương trình \(54{x^2} + 35x - 4 = 12\left( {2x - 1} \right)\sqrt {4{x^2} + x} + 4\left( {25x + 1}

Câu hỏi số 720295:

Vận dụng cao

Giải phương trình \(54{x^2} + 35x - 4 = 12\left( {2x - 1} \right)\sqrt {4{x^2} + x} + 4\left( {25x + 1} \right)\sqrt {x - {x^2}} {\rm{.\;}}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:720295

Phương pháp giải

Đưa về dạng phương trình tích và xét dấu.

Giải chi tiết

ĐK: \(0 \le x \le 1\)

Phương trình \( \Leftrightarrow \left[ {\sqrt {4{x^2} + x} - \dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}(10x + 1)} \right] \cdot 12(2x - 1) + \dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}(10x + 1).12.(2x - 1)\)

\(\; + \left( {\sqrt {x - {x^2}} - \dfrac{1}{2}} \right) \cdot 4 \cdot \left( {25x + 1} \right) + \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left( {25x + 1} \right) = 54{x^2} + 35x - 4\)

\(\; \Leftrightarrow \dfrac{{\left( { - 4{x^2} + 4x - 1} \right)}}{{2\sqrt {4{x^2} + x} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\left( {10x + 1} \right)}} + \dfrac{{x - {x^2} - \dfrac{1}{4}}}{{\sqrt {x - {x^2}} + \dfrac{1}{2}}} = \left( {54{x^2} - 15x - 6} \right) - \sqrt 6 \left( {20{x^2} - 8x - 1} \right)\)

\(\; \Leftrightarrow 54\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {x + \dfrac{2}{9}} \right) - 20\sqrt 6 \left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {x + \dfrac{1}{{10}}} \right) = \dfrac{{{{(1 - 2x)}^3}}}{{2\sqrt {4{x^2} + x} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\left( {10x + 1} \right)}}\; - \dfrac{{{{(1 - 2x)}^2}}}{{4\sqrt {x - {x^2}} + 2}}\)

\(\; \Leftrightarrow \dfrac{{{{(2x - 1)}^2}}}{{4\sqrt {x - {x^2}} + 2}} + \dfrac{{{{(2x - 1)}^3}}}{{2\sqrt {4{x^2} + x} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\left( {10x + 1} \right)}} + \left( {2x - 1} \right)\left( {27x + 6} \right)\)\(\; - \left( {2x - 1} \right)\left( {10\sqrt 6 x + \sqrt 6 } \right) = 0\)

\(\; \Leftrightarrow (2x - 1)\left[ {\dfrac{{{{(2x - 1)}^2}}}{{2\sqrt {4{x^2} + x} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\left( {10x + 1} \right)}} + \dfrac{{2x - 1}}{{4\sqrt {x - {x^2}} + 2}} + 27x + 6 - \sqrt 6 \left( {10x + 1} \right)} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 1 = 0}\\{\left( {\dfrac{{2x - 1}}{{4\sqrt {x - {x^2}} + 2}} + 1} \right) + \dfrac{{{{(2x - 1)}^2}}}{{2\sqrt {4{x^2} + x} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\left( {10x + 1} \right)}} + \left( {27 - 10\sqrt 6 } \right)x + 5 - \sqrt 6 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{1}{2}(tm)}\\{\dfrac{{4\sqrt {x - {x^2}} + 2x + 1}}{{4\sqrt {x - {x^2}} + 2}} + \dfrac{{{{(2x - 1)}^2}}}{{2\sqrt {4{x^2} + x} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\left( {10x + 1} \right)}} + \left( {27 - 10\sqrt 6 } \right)x + 5 - \sqrt 6 = 0\,\,(*)}\end{array}} \right.\)

Với \(0 \le x \le 1\) thì VT (*) luôn dương.

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{1}{2}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.