Giải phương trình \(54{x^2} + 35x - 4 = 12\left( {2x - 1} \right)\sqrt {4{x^2} + x} + 4\left( {25x + 1}

Câu hỏi số 720295:

Vận dụng cao

Giải phương trình \(54{x^2} + 35x - 4 = 12\left( {2x - 1} \right)\sqrt {4{x^2} + x} + 4\left( {25x + 1} \right)\sqrt {x - {x^2}} {\rm{.\;}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:720295

Phương pháp giải

Đưa về dạng phương trình tích và xét dấu.

Giải chi tiết

ĐK: \(0 \le x \le 1\)

Phương trình \( \Leftrightarrow \left[ {\sqrt {4{x^2} + x} - \dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}(10x + 1)} \right] \cdot 12(2x - 1) + \dfrac{{\sqrt 6 }}{{12}}(10x + 1).12.(2x - 1)\)

\(\; + \left( {\sqrt {x - {x^2}} - \dfrac{1}{2}} \right) \cdot 4 \cdot \left( {25x + 1} \right) + \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left( {25x + 1} \right) = 54{x^2} + 35x - 4\)

\(\; \Leftrightarrow \dfrac{{\left( { - 4{x^2} + 4x - 1} \right)}}{{2\sqrt {4{x^2} + x} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\left( {10x + 1} \right)}} + \dfrac{{x - {x^2} - \dfrac{1}{4}}}{{\sqrt {x - {x^2}} + \dfrac{1}{2}}} = \left( {54{x^2} - 15x - 6} \right) - \sqrt 6 \left( {20{x^2} - 8x - 1} \right)\)

\(\; \Leftrightarrow 54\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {x + \dfrac{2}{9}} \right) - 20\sqrt 6 \left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {x + \dfrac{1}{{10}}} \right) = \dfrac{{{{(1 - 2x)}^3}}}{{2\sqrt {4{x^2} + x} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\left( {10x + 1} \right)}}\; - \dfrac{{{{(1 - 2x)}^2}}}{{4\sqrt {x - {x^2}} + 2}}\)

\(\; \Leftrightarrow \dfrac{{{{(2x - 1)}^2}}}{{4\sqrt {x - {x^2}} + 2}} + \dfrac{{{{(2x - 1)}^3}}}{{2\sqrt {4{x^2} + x} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\left( {10x + 1} \right)}} + \left( {2x - 1} \right)\left( {27x + 6} \right)\)\(\; - \left( {2x - 1} \right)\left( {10\sqrt 6 x + \sqrt 6 } \right) = 0\)

\(\; \Leftrightarrow (2x - 1)\left[ {\dfrac{{{{(2x - 1)}^2}}}{{2\sqrt {4{x^2} + x} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\left( {10x + 1} \right)}} + \dfrac{{2x - 1}}{{4\sqrt {x - {x^2}} + 2}} + 27x + 6 - \sqrt 6 \left( {10x + 1} \right)} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 1 = 0}\\{\left( {\dfrac{{2x - 1}}{{4\sqrt {x - {x^2}} + 2}} + 1} \right) + \dfrac{{{{(2x - 1)}^2}}}{{2\sqrt {4{x^2} + x} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\left( {10x + 1} \right)}} + \left( {27 - 10\sqrt 6 } \right)x + 5 - \sqrt 6 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{1}{2}(tm)}\\{\dfrac{{4\sqrt {x - {x^2}} + 2x + 1}}{{4\sqrt {x - {x^2}} + 2}} + \dfrac{{{{(2x - 1)}^2}}}{{2\sqrt {4{x^2} + x} + \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\left( {10x + 1} \right)}} + \left( {27 - 10\sqrt 6 } \right)x + 5 - \sqrt 6 = 0\,\,(*)}\end{array}} \right.\)

Với \(0 \le x \le 1\) thì VT (*) luôn dương.

\( \Rightarrow \) Phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{1}{2}\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link