Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp
Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua điểm A cắt (S) tại D và E (D nằm giữa A và E, DB < DC), gọi H là giao điểm của AO và BC.
1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
2) Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác AEB và \(A{B^2} = AH \cdot AO\).
3) Gọi I là trung điểm của DE, đường thẳng BI cắt (O) tại điểm F khác B. Chứng minh
\(\angle {BIA} = \angle {BOA}\) và CF song song với DE.
4) Đường thẳng đi qua D song song BE cắt BC, AB lần lượt tại P và Q. Chứng minh D là trung điểm của PQ.
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
1) Do AB, AC là tiếp tuyến nên \(\angle OCA = \angle OBA = {90^0}\)
Xét tứ giác ABOC có \(\angle OCA + \angle OBA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ABOC nội tiếp (dhnb)
2) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AEB\) có
\(\angle BAE\) chung
\(\angle ABD = \angle AEB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AEB\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}\\ \Rightarrow A{B^2} = AD.AE\end{array}\)
3) Do I là trung điểm của ED nên \(OI \bot DE\) (quan hệ đường kính, dây cung)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle OIA = {90^0}\\ \Rightarrow \angle OCA + \angle OIA = {180^0}\end{array}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OIAC nội tiếp (dhnb)
Mà ABOC nội tiếp nên O, I, B, A, C cùng thuộc một đường tròn
\( \Rightarrow \angle BIA = \angle BOA\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Do AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau nên OA là phân giác của \(\angle BOC\)
\( \Rightarrow \angle BOA = \dfrac{1}{2}\angle BOC\)
Ta có \(\angle BFC = \dfrac{1}{2}\angle BOC\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC)
\(\angle BIA = \angle BOA\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \angle BIA = \angle BFC \Rightarrow DI\parallel FC\) (hai góc đồng vị bằng nhau) hay \(DE\parallel CF\)
4) Gọi K là giao điểm của DE và HB
Ta có \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), \(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow OA\) là trung trực của BC
\( \Rightarrow OA \bot BC\) tại H là trung điểm của BC
\( \Rightarrow A{B^2} = AH.AO\) (hệ thức lượng)
Mà \(A{B^2} = AD.AE\)
\( \Rightarrow AD.AE = AH.AO \Rightarrow OHDE\) nội tiếp
\(\angle DHK = \angle {90^0} - \angle DHA = {90^0} - \angle AEO = \angle EOI = \dfrac{1}{2}\angle EOD = \dfrac{1}{2}\angle EHD\)
\( \Rightarrow HB\) là phân giác của góc EHD
Mà \(HA \bot HB\) nên HA là phân giác ngoài của \(\angle EHD\)
\( \Rightarrow \dfrac{{HD}}{{HE}} = \dfrac{{KD}}{{KE}} = \dfrac{{AD}}{{AE}}\)
Ta có \(\dfrac{{AD}}{{AE}} = \dfrac{{DQ}}{{EB}}\) (talet) và \(\dfrac{{DP}}{{EB}} = \dfrac{{DK}}{{KE}}\) (talet)
\( \Rightarrow \dfrac{{DQ}}{{EB}} = \dfrac{{DP}}{{EB}} \Rightarrow DQ = DP\)
Vậy D là trung điểm của PQ.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
