Cho phương trình \({x^2} - (2m + 1)x + {m^2} + 2 = 0\) (m là tham số). Tìm các giá trị nguyên của m để
Cho phương trình \({x^2} - (2m + 1)x + {m^2} + 2 = 0\) (m là tham số). Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) sao cho biểu thức \(P = \dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}\) có giá trị nguyên.
Quảng cáo
Áp dụng hệ thức Vi-ét.
Ta có: \(\Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} + 2} \right) = 4{m^2} + 4m + 1 - 4{m^2} - 8 = 4m - 7\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(4m - 7 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{7}{4}\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}.{x_2} = {m^2} + 2\end{array} \right.\)
Khi đó:\(P = \dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}} = \dfrac{{{m^2} + 2}}{{2m + 1}} \Rightarrow 4P = \dfrac{{4{m^2} + 8}}{{2m + 1}} = \dfrac{{4{m^2} - 1 + 9}}{{2m + 1}} = 2m - 1 + \dfrac{9}{{2m + 1}}\)
4P nguyên khi và chỉ khi \(\dfrac{9}{{2m + 1}}\) nguyên hay \(9 \vdots 2m + 1\) hay \(2m + 1 \in \)Ư(9)\( = \left\{ { \pm 1; \pm 3; \pm 9} \right\}\)
Ta có bảng sau:
Với \(m = 4\) thì \(P = \dfrac{{{4^2} + 2}}{{2.4 + 1}} = 2\) (tm)
Vậy \(m = 4\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) sao cho biểu thức \(P = \dfrac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1} + {x_2}}}\) có giá trị nguyên.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
