Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BM, CN cắt nhau tại \(H(M \in AC,N \in
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BM, CN cắt nhau tại \(H(M \in AC,N \in AB)\)
a) Chứng minh AMHN là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(AN \cdot BC = AC \cdot MN\) và \(OA \bot MN\).
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do BM, CN là đường cao nên \(\angle ANH = \angle AMH = {90^0}\)
Xét tứ giác AMHN có \(\angle ANH + \angle AMH = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác AMHN nội tiếp.
b) Ta có BM, CN là đường cao nên \(\angle BMC = \angle BNC = {90^0}\)
\( \Rightarrow B,M,N,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính BC
\( \Rightarrow \angle AMN = \angle ABC\) (góc ngoài của đỉnh đối diện tứ giác nội tiếp)
Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ABC\) có: \(\angle AMN = \angle ABC\) (cmt) và \(\angle BAC\) chung
\( \Rightarrow \Delta AMN\)~\(\Delta ABC\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AN.BC = MN.AC\)
Kẻ tiếp tuyến Ax của (O) tại A. Khi đó \(Ax \bot OA\)
\(\angle CAx = \angle ABC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn AC)
\(\angle ABC = \angle AMN\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle CAx = \angle AMN \Rightarrow Ax\parallel MN\)
Mà \(Ax \bot OA \Rightarrow MN \bot OA\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
