Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O), với B, C là các tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AO và BC.
1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
2) Gọi M, N là hai giao điểm của đường thẳng AO với đường tròn (O) sao cho M thuộc đoạn AN. Gọi P là trung điểm HN, đường thẳng qua H vuông góc với BP tại J cắt đường thẳng BM tại S.
a) Chứng minh rằng hai tam giác BPN và SHB đồng dạng.
b) Hai đường thẳng SP và BC cắt nhau tại K, đường thẳng qua B vuông góc với SP tại I cắt đường thẳng MN tại Q. Chứng minh rằng \(HK.HQ = PQ.KC\).
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
1) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
Ta có \(\angle ABO = \angle ACO = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến)
\( \Rightarrow \angle ABO + \angle ACO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác ABOC nội tiếp (dhnb)(đpcm)
2) Gọi M, N là hai giao điểm của đường thẳng AO với đường tròn (O) sao cho M thuộc đoạn AN. Gọi P là trung điểm HN, đường thẳng qua H vuông góc với BP tại J cắt đường thằng BM tại S.
a) Chứng minh rằng hai tam giác BPN và SHB đồng dạng.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\OB = OC\end{array} \right. \Rightarrow OA\) là trung trực của BC
\( \Rightarrow OA \bot BC\) tại trung điểm H của BC
\(\angle MBN = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow MB \bot NB\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\angle BNO + \angle HBN = {180^0} - \angle BHN = {90^0}\\\angle MBH + \angle HBN = \angle MBN = {90^0}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle BNO = \angle MBH\) (cùng phụ với \(\angle HBN\)) (1)
Tương tự \(\angle BPH = \angle BHJ\) (cùng phụ với \(HBP\)) mà \(\angle BHJ = \angle CHS\) (đối đỉnh)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BPH = \angle CHS\\ \Rightarrow {180^0} - \angle BPH = {180^0} - \angle CHS\\ \Leftrightarrow \angle BPN = \angle SHB & \left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác BPN và SHB đồng dạng
b) Hai đường thẳng SP và BC cắt nhau tại K, đường thẳng qua B vuông góc với SP tại I cắt đường thẳng MN tại Q. Chứng minh rằng \(HK.HQ = PQ.KC\).
\(\Delta SHB\)~\(\Delta BPN \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{BP}} = \dfrac{{HB}}{{PN}} \Leftrightarrow SH.PN = HB.BP\)
\( \Leftrightarrow SH.PN.HP = HB.BP.HP\)
\( \Leftrightarrow SH.H{P^2} = BP.\left( {HB.HP} \right)\)
\( \Leftrightarrow SH.H{P^2} = BP.\left( {HJ.BP} \right)\)
\( \Leftrightarrow SH.H{P^2} = HJ.B{P^2}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{SH}}{{HJ}} = {\left( {\dfrac{{BP}}{{HP}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{HB}}{{HJ}}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow SH = \dfrac{{H{B^2}}}{{HJ}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{SH}}{{HB}} = \dfrac{{HB}}{{HJ}} = \dfrac{{HC}}{{HJ}} \Rightarrow \Delta SHB\)~\(\Delta CHJ\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle SBC = \angle SJC\)
\( \Rightarrow BJCS\) nội tiếp đường tròn
\( \Rightarrow \angle BJS = \angle BCS = {90^0} \Rightarrow BC \bot SC \Rightarrow OA\parallel SC\)
Gọi E là giao điểm của KQ và SE
Xét \(\Delta BPK\) có PH, BI là đường cao cắt nhau tại Q nên Q là trực tâm
\( \Rightarrow KQ \bot PB \Rightarrow KQ\parallel SJ\)
Mà \(HQ\parallel SE \Rightarrow HQES\) là hình bình hành
\( \Rightarrow HQ = SE \Rightarrow \dfrac{{HQ}}{{CE}} = \dfrac{{SE}}{{CE}} \Leftrightarrow \dfrac{{HK}}{{KC}} = \dfrac{{QP}}{{QH}}\) (talet)
\( \Rightarrow HK.HQ = PQ.KC\left( {dpcm} \right)\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
