Cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = 4x - m - 1\).a) Tìm tọa độ giao điểm của

Câu hỏi số 721963:

Vận dụng

Cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = 4x - m - 1\).

a) Tìm tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) khi \(m = 2\).

b) Tìm giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn giá trị \({x_1},{x_2}\) bằng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721963

Phương pháp giải

Áp dụng hệ thức vi-ét và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

a) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} = 4x - m - 1\) \(\left( 1 \right)\)

Khi \(m = 2\) ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} = 4x - 3\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\)

Ta thấy phương trình có các hệ số \(1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = 3\end{array} \right.\).

Với \(x = 1 \Rightarrow y = 1\)

\(x = 3 \Rightarrow y = 9\)

Vậy tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) khi \(m = 2\) là: \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( {3;9} \right)\).

b) Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + m + 1 = 0\) để đường thẳng \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt.

\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( {m + 1} \right) = 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3\).

Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)

Áp dụng định lí Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 4\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = m + 1\end{array} \right.\)

\({x_1},{x_2}\) bằng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên

\({x_1},{x_2} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 > 0\\m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1\)

Để \({x_1},{x_2}\) có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\) nên ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{{x_2}^2}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{x_1}^2.{x_2}^2}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}} = 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{4^2} - 2\left( {m + 1} \right)}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = 5\\ \Leftrightarrow 16 - 2m - 2 = 5{m^2} + 10m + 5\\ \Leftrightarrow 5{m^2} + 12m - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 3} \right)\left( {5m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3(ktm)\\m = \dfrac{3}{5}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = \dfrac{3}{5}\) thì đường thẳng \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn giá trị \({x_1},{x_2}\) bằng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link