Cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = 4x - m - 1\).a) Tìm tọa độ giao điểm của

Câu hỏi số 721963:

Vận dụng

Cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = 4x - m - 1\).

a) Tìm tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) khi \(m = 2\).

b) Tìm giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn giá trị \({x_1},{x_2}\) bằng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:721963

Phương pháp giải

Áp dụng hệ thức vi-ét và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

a) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} = 4x - m - 1\) \(\left( 1 \right)\)

Khi \(m = 2\) ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} = 4x - 3\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\)

Ta thấy phương trình có các hệ số \(1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = 3\end{array} \right.\).

Với \(x = 1 \Rightarrow y = 1\)

\(x = 3 \Rightarrow y = 9\)

Vậy tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) khi \(m = 2\) là: \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( {3;9} \right)\).

b) Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + m + 1 = 0\) để đường thẳng \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt.

\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( {m + 1} \right) = 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3\).

Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)

Áp dụng định lí Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 4\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = m + 1\end{array} \right.\)

\({x_1},{x_2}\) bằng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên

\({x_1},{x_2} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 > 0\\m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1\)

Để \({x_1},{x_2}\) có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\) nên ta có

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{{x_2}^2}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{x_1}^2.{x_2}^2}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}} = 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{4^2} - 2\left( {m + 1} \right)}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = 5\\ \Leftrightarrow 16 - 2m - 2 = 5{m^2} + 10m + 5\\ \Leftrightarrow 5{m^2} + 12m - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 3} \right)\left( {5m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3(ktm)\\m = \dfrac{3}{5}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = \dfrac{3}{5}\) thì đường thẳng \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn giá trị \({x_1},{x_2}\) bằng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.