Cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = 4x - m - 1\).a) Tìm tọa độ giao điểm của
Cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = 4x - m - 1\).
a) Tìm tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) khi \(m = 2\).
b) Tìm giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn giá trị \({x_1},{x_2}\) bằng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\).
Áp dụng hệ thức vi-ét và hệ thức lượng trong tam giác vuông.
a) Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} = 4x - m - 1\) \(\left( 1 \right)\)
Khi \(m = 2\) ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} = 4x - 3\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\)
Ta thấy phương trình có các hệ số \(1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = 3\end{array} \right.\).
Với \(x = 1 \Rightarrow y = 1\)
\(x = 3 \Rightarrow y = 9\)
Vậy tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) khi \(m = 2\) là: \(\left( {1;1} \right)\) và \(\left( {3;9} \right)\).
b) Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + m + 1 = 0\) để đường thẳng \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt.
\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( {m + 1} \right) = 3 - m > 0 \Leftrightarrow m < 3\).
Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\)
Áp dụng định lí Vi – et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 4\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = m + 1\end{array} \right.\)
\({x_1},{x_2}\) bằng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên
\({x_1},{x_2} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 > 0\\m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1\)
Để \({x_1},{x_2}\) có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\) nên ta có
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{{x_2}^2}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{x_1}^2.{x_2}^2}} = 5 \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}} = 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{4^2} - 2\left( {m + 1} \right)}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = 5\\ \Leftrightarrow 16 - 2m - 2 = 5{m^2} + 10m + 5\\ \Leftrightarrow 5{m^2} + 12m - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 3} \right)\left( {5m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3(ktm)\\m = \dfrac{3}{5}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = \dfrac{3}{5}\) thì đường thẳng \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn giá trị \({x_1},{x_2}\) bằng độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là \(h = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com