Cho hình thoi ABCD có \(\angle BAD = {60^0}\). Gọi điểm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Câu hỏi số 722224:

Vận dụng

Cho hình thoi ABCD có \(\angle BAD = {60^0}\). Gọi điểm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.

a) Chứng minh rằng tam giác OMN là tam giác đều.

b) Trên đoạn thẳng OA lấy điểm G sao cho \(OG = \dfrac{1}{3}OA\). Chứng minh rằng G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:722224

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Xét tam giác ABD có AB = AD (ABCD là hình thoi) nên tam giác ABD cân tại A.

Mà \(\angle BAD = 60^\circ \)suy ra \(\Delta ABD\) là tam giác đều.

\( \Rightarrow AB = BD = AD\).

Xét tam giác ABD có:

M là trung điểm của AB (gt)

N là trung điểm của AD (gt)

O là trung điểm của BD (O là giao điểm của hai đường chéo hình thoi

\( \Rightarrow MN,NO,OM\) là các đường trung bình của tam giác ABD, suy ra \(MN = \dfrac{1}{2}BD;NO = \dfrac{1}{2}AB;OM = \dfrac{1}{2}AD\)

Mà \(AB = BD = AD\left( {cmt} \right) \Rightarrow MN = NO = OM \Rightarrow \Delta MNO\) đều. (đpcm)

b) Ta có: \(AO \bot BD\) (t/c hình thoi) và \(MN//BD\) (t/c đường trung bình) \( \Rightarrow AO \bot MN\) (từ vuông góc đến song song) hay \(OG \bot MN\)

Mà \(\Delta OMN\) là tam giác đều nên \(OG\) vừa là đường cao vừa là đường trung trực của \(\Delta OMN\).

Gọi H là giao điểm của OA và MN.

Tứ giác AMON có AM //ON, AN//OM nên là hình bình hành.

H là giao điểm của OA và MN nên \(OH = HA = \dfrac{1}{2}OA \Rightarrow OA = 2OH\).

\( \Rightarrow OG = \dfrac{1}{3}OA = \dfrac{1}{3}.2.OH = \dfrac{2}{3}OH\).

\( \Rightarrow \) G là trọng tâm của tam giác OMN.

Mà tam giác OMN đều nên G cũng chính là trực tâm của tam giác OMN.

\( \Rightarrow \) G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN. (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.