a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) vẽ đồ thị \((P)\) của hàm số \(y = {x^2}\). Tìm

Câu hỏi số 723977:

Vận dụng

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) vẽ đồ thị \((P)\) của hàm số \(y = {x^2}\). Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị \(\left( P \right)\) và đường thẳng \((d):y = - x + 6\).

b) Tìm tất cả các số thực \(m\)để phương trình \({x^2} - 4x + m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn\(\dfrac{{x_1^2}}{{x_2^2 + 4{x_1} + 1}} + \dfrac{{x_1^3}}{{x_1^2 + 4{x_2} + 1}} = \dfrac{5}{7}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723977

Phương pháp giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm.

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét.

Giải chi tiết

a) *) Vẽ đồ thị hàm số:

Ta có bảng giá trị sau:

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm \(O\,\left( {0;0} \right);A\left( { - 2;4} \right);\,\,B\left( { - 1;1} \right);C\left( {1;1} \right);\,\,D\left( {2;4} \right)\)

Hệ số \(a = 1 > 0\)nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) như sau:

*) Tìm giao điểm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) ta được:

\({x^2} = - x + 6 \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 2\end{array} \right.\)

Với \(x = - 3 \Rightarrow y = {\left( { - 3} \right)^2} = 9\)

Với \(x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4\)

Vậy \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) tại hai điểm \(\left( { - 3;9} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).

b) Ta có: \(\Delta ' = {2^2} - \left( {m - 1} \right) = 5 - m\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 5 - m > 0 \Leftrightarrow m < 5\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}.{x_2} = m - 1\end{array} \right.\)

Ta có: \({x^2} - 4x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4x - m + 1\)

Giả thiết: \(\dfrac{{x_1^2}}{{x_2^2 + 4{x_1} + 1}} + \dfrac{{x_1^3}}{{x_1^2 + 4{x_2} + 1}} = \dfrac{5}{7}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{4{x_1} - m + 1}}{{4{x_2} - m + 1 + 4{x_1} + 1}} + \dfrac{{4{x_2} - m + 1}}{{4{x_1} - m + 1 + 4{x_2} + 1}} = \dfrac{5}{7}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{4{x_1} + 4{x_2} - 2m + 2}}{{4{x_1} + 4{x_2} - m + 2}} = \dfrac{5}{7}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m + 2}}{{4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - m + 2}} = \dfrac{5}{7}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{16 - 2m + 2}}{{16 - m + 2}} = \dfrac{5}{7}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{18 - 2m}}{{18 - m}} = \dfrac{5}{7}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 18\\7\left( {18 - 2m} \right) = 5\left( {18 - m} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 18\\9m = 36\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m = 4\,\,(TM)\end{array}\)

Vậy \(m = 4\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.