Cho đường tròn (O) có bán kính R = 4cm và điểm M sao cho OM = 8cm. Từ M kẻ đến (O) hai tiếp

Câu hỏi số 723978:

Vận dụng

Cho đường tròn (O) có bán kính R = 4cm và điểm M sao cho OM = 8cm. Từ M kẻ đến (O) hai tiếp tuyến MA và MB (với A, B là các tiếp điểm).

a) Tính chu vi của đường tròn (O).

b) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

c) Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn đi qua M, cắt (O) tại hai điểm phân biệt C, D sao cho C thuộc cung nhỏ AB và AC < CB. Gọi S là diện tích của tam giác OCD. Tính MC.MD và tìm giá trị lớn nhất của S.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:723978

Phương pháp giải

Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Chu vi của (O) là \(2\pi R = 2.\pi .4 = 8\pi \left( {cm} \right)\)

b) Do MA, MB là tiếp tuyến nên \(\angle MAO = \angle MBO = {90^0}\)

Xét tứ giác MAOB có \(\angle MAO + \angle MBO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác MAOB nội tiếp (dhnb)

c) Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MDA\) có:

\(\angle AMD\) chung

\(\angle MAC = \angle MDA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta MAC\sim\Delta MDA\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MA}} \Rightarrow M{A^2} = MC.MD\end{array}\)

Do \(OM = 8,OA = 4 \Rightarrow MA = \sqrt {O{M^2} - O{A^2}} = \sqrt {{8^2} - {4^2}} = 4\sqrt 3 \) cm

\( \Rightarrow MC.MD = {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} = 48\,\,c{m^2}\)

Gọi H là trung điểm của CD suy ra \(OH \bot CD\) (quan hệ đường kính, dây cung)

\(S = \dfrac{1}{2}OH.CD = OH.HC \le \dfrac{{{{\left( {OH + HC} \right)}^2}}}{4} \le \dfrac{{2\left( {O{H^2} + H{C^2}} \right)}}{4} = \dfrac{{O{C^2}}}{2} = \dfrac{{{4^2}}}{2} = 8\)

Dấu “=” có khi \(OH = CH \Rightarrow \Delta OCD\) vuông cân tại O

Vậy S lớn nhất bằng 8cm² khi d cắt (O) tại C, D thỏa mãn OCD vuông cân tại O.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.