Cho hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} - {m^2}x + 8\). Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm

Câu hỏi số 725643:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} - {m^2}x + 8\). Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía trên trục hoành?

A. \(3\).

B. \(5\).

C. \(4\).

D. \(6\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725643

Giải chi tiết

\(y' = 3{x^2} - 2mx - {m^2}\)

\(\Delta ' = {m^2} + 3{m^2} = 4{m^2}\).

Do đó phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} = \dfrac{{m + 2m}}{3} = m\), \({x_2} = \dfrac{{m - 2m}}{3} = - \dfrac{m}{3}\).

Để hàm số có cực trị thì \(m \ne 0\)

Trường hợp 1: \(m > 0\), khi đó \({x_1} > {x_2}\), hàm số đạt cực tiểu tại \({x_1} = m\).

Để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía trên trục hoành \(f\left( {{x_1}} \right) > 0\).

Hay \({m^3} - {m^3} - {m^3} + 8 > 0 \Leftrightarrow 8 - {m^3} > 0 \Leftrightarrow m < 2\).

Kết hợp điều kiện ta được \(0 < m < 2\). Do m nguyên nên \(m = 1.\)

Trường hợp 2: \(m < 0\), khi đó \({x_1} < {x_2}\), hàm số đạt cực tiểu tại \({x_2} = - \dfrac{m}{3}\).

Để hàm số có điểm cực tiểu nằm hoàn toàn phía trên trục hoành \(f\left( {{x_2}} \right) > 0\).

Hay \( - \dfrac{{{m^3}}}{{27}} - \dfrac{{{m^3}}}{9} + \dfrac{{{m^3}}}{3} + 8 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{5}{{27}}{m^3} + 8 > 0 \Leftrightarrow m > - \sqrt[3]{{\dfrac{{216}}{5}}}\).

Kết hợp điều kiện ta được \( - \sqrt[3]{{\dfrac{{216}}{5}}} < m < 0\). Do m nguyên nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}.\)

Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.