Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\), \(B\left( {3; - 2;1} \right)\),

Câu hỏi số 725669:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\), \(B\left( {3; - 2;1} \right)\), \(C\left( { - 2;1; - 2} \right)\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thay đổi trên mặt phẳng \(Oxy\). Khi \(2M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất hãy tính \(3a + b + 2021c\).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:725669

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {{x_I};{y_I};{z_I}} \right)\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Do đó tọa độ điểm \(I\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{2{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{{2 + 1 + 1}} = \dfrac{{2.1 + 3 - 2}}{4} = \dfrac{3}{4}\\{y_I} = \dfrac{{2{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{4} = \dfrac{{2.2 - 2 + 1}}{4} = \dfrac{3}{4}\\{z_I} = \dfrac{{2{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{4} = \dfrac{{0.2 + 1 - 2}}{4} = \dfrac{{ - 1}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{3}{4};\dfrac{{ - 1}}{4}} \right)\).

\(2M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\)\( = 4M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + 2I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = 4M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\).

Do \(A,B,C,I\) là các điểm cố định nên giá trị \(2I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\)là không đổi.

Vì vậy \(2M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\)đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MI\)nhỏ nhất

\( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\)trên mặt phẳng \(Oxy\)\( \Rightarrow M\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{3}{4};0} \right)\)

\( \Rightarrow 3a + b + 2021c = \dfrac{3}{4}.3 + \dfrac{3}{4} = 3\).

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.