Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB, AC

Câu hỏi số 726181:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại E và F (E khác B, F khác C). Các đoạn thẳng BF và CE cắt nhau tại H, tia AH cắt BC tại K.

a) Chứng minh \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\), từ đó suy ra tứ giác AEHF nội tiếp.

b) Gọi D là giao điểm của AH và (O) (D nằm giữa A và H), chứng minh \(B{D^2} = BK \cdot BC\) và \(\angle BDH = \angle BFD\)

c) Trong trường hợp góc \(BAC = {60^\circ }\) và \(BC = 6\;{\rm{cm}}\), tính độ dài đoạn thẳng EF và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726181

Giải chi tiết

a) Ta có (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Khi đó \(\Delta AEH\) vuông tại E nên A,E,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Tương tự \(\Delta AFH\) vuông tại F nên A,H,F cùng thuộc đường tròn đường kính AH

Vậy A, E, F, H cùng thuộc đường trong đường kính AH hay tứ giác AEHF nội tiếp.

b) Ta có (tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta BDK\) và \(\Delta BCD\) có

\(\angle CBD\) chung

\(\angle BKD = \angle BDC\left( { = {{90}^0}} \right)\)

Nên \(\Delta BDK \sim \Delta BCD\left( {g.g} \right)\)

Suy ra \(\dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{{BK}}{{BD}}\) hay \(B{D^2} = BK.BC\)

Do \(\Delta BDK \sim \Delta BCD\left( {g.g} \right)\) nên \(\angle BDH = \angle BCD\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\angle BCD = \angle BFD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)

Nên \(\angle BDH = \angle BFD\) (đpcm)

c) Do \(\Delta AFB\) vuông tại F nên \(\angle ABF = {90^0} - \angle BAF = {90^0} - {60^0} = {30^0}\)

Mà nên \(\angle EOF = {2.30^0} = {60^0}\)

Xét \(\Delta OEF\) cân tại O (do \(OE = OF\)) có \(\angle EOF = {60^0}\) nên \(\Delta OEF\) là tam giác đều

Suy ra \(EF = OE = OF = \dfrac{1}{2}BC = 3\)cm.

Xét \(\Delta ABC\) có đường cao CE và BF cắt nhau tại H nên H là trực tâm

Suy ra \(AH \bot BC\)

Xét \(\Delta AHF\) và \(\angle BHK\) có \(\angle AHF = \angle BHK\) (đối đỉnh) và \(\angle AFH = \angle BKH\left( { = {{90}^0}} \right)\)

Suy ra \(\angle HAF = \angle HBK\) hay \(\angle HAF = \angle FBC\)

Kết hợp \(\angle AFH = \angle BFC\left( { = {{90}^0}} \right)\) suy ra \(\Delta AFH \sim \Delta BFC\left( {g.g} \right)\)

Suy ra \(\dfrac{{AH}}{{BC}} = \dfrac{{AF}}{{BF}} = \cot \angle FAB = \cot {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Suy ra \(AH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}BC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}.6 = 2\sqrt 3 \)

Xét tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên bán kính bằng \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link