Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A\left( {0;0; - 1} \right)$ , \(B\left( { -

Câu hỏi số 726317:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A\left( {0;0; - 1} \right)$ , $B\left( { - 1;1;0} \right)$ , $C\left( {1;0;1} \right)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho $3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

M (- \frac{3}{4}; \frac{1}{2}; 2)

$M\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};2} \right)$ .

M (- \frac{3}{4}; \frac{3}{2}; - 1)

$M\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{3}{2}; - 1} \right)$ .

M (\frac{3}{4}; \frac{1}{2}; - 1)

$M\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$ .

M (- \frac{3}{4}; \frac{1}{2}; - 1)

$M\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$ .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726317

Giải chi tiết

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {\,0\,}$ .

Ta có:

$3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {\,0\,}$

 $3\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OI} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OI} } \right) - \left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OI} } \right) = \overrightarrow {\,0\,}$

 $4\overrightarrow {OI} = 3\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC}$

 $\overrightarrow {OI} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OB} - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OC}$

Do đó, $I\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$ .

Mặt khác:

$3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}$

$= 3{\left( {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IM} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IM} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {IC} - \overrightarrow {IM} } \right)^2}$

$= 3I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2} + 4I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right)$

$= 3I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2} + 4I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {\,0\,}$

$= 3I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2} + 4I{M^2}$

Để $3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $M \equiv I$ . Vậy $M\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.