Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;0; - 1} \right)\), \(B\left( { -

Câu hỏi số 726317:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {0;0; - 1} \right)\), \(B\left( { - 1;1;0} \right)\), \(C\left( {1;0;1} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) sao cho \(3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(M\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2};2} \right)\).

B. \(M\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{3}{2}; - 1} \right)\).

C. \(M\left( {\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).

D. \(M\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726317

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {\,0\,} \).

Ta có:

\(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {\,0\,} \)

 \(3\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OI} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OI} } \right) - \left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OI} } \right) = \overrightarrow {\,0\,} \)

 \(4\overrightarrow {OI} = 3\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OC} \)

 \(\overrightarrow {OI} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {OA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OB} - \dfrac{1}{4}\overrightarrow {OC} \)

Do đó, \(I\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).

Mặt khác:

\(3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\)

\( = 3{\left( {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IM} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IM} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {IC} - \overrightarrow {IM} } \right)^2}\)

\( = 3I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2} + 4I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} } \right)\)

\( = 3I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2} + 4I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {\,0\,} \)

\( = 3I{A^2} + 2I{B^2} - I{C^2} + 4I{M^2}\)

Để \(3M{A^2} + 2M{B^2} - M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(M \equiv I\). Vậy \(M\left( { - \dfrac{3}{4};\dfrac{1}{2}; - 1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.