Cho đường tròn (O) với đường kính BC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D, gọi DA là tiếp
Cho đường tròn (O) với đường kính BC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D, gọi DA là tiếp tuyến của đường tròn (O) với A là tiếp điểm. Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với BC tại M và cắt đường tròn (O) tại E (E khác A). Gọi AH là đường cao của tam giác ABE, AH cắt BC tại F. Gọi I là trung điểm của đoạn AH, đường thẳng BI cắt đường tròn (O) tại K (K khác B), AK cắt BD tại N.
1) Chứng minh các điểm E, M, F, H cùng thuộc một đường tròn và \(DB \cdot DC = DM \cdot DO\).
2) Chứng minh AFEC là hình thoi và \(\angle {BAH} = \angle {ADB}\).
3) Chứng minh \(MK \bot AN\) và \(MD = 2MN\).
Quảng cáo
Vận dụng các tính chất hình học để chứng minh.
1) Chứng minh các điểm E, M, F, H cùng thuộc một đường tròn và \(DB \cdot DC = DM \cdot DO\).
Do \(AM \bot BC \Rightarrow \angle EMF = {90^0}\)
Do AH là đường cao của \(\Delta ABE \Rightarrow \) \(AH \bot BE \Rightarrow \angle FHE = {90^0}\)
Xét tứ giác EMFH có \(\angle EMF + \angle EHF = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác EMFH là tứ giác nội tiếp
Hay các điểm E, M, F, H cùng thuộc một đường tròn.
Xét \(\Delta DCA\) và \(\Delta DAB\) có
\(\angle ADB\) chung
\(\angle DAC = \angle DBA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)
\( \Rightarrow \Delta DAC \sim \Delta DBA\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{DA}}{{DB}} = \dfrac{{DC}}{{DA}} \Rightarrow D{A^2} = DB.DC\)
Xét \(\Delta DAO\) vuông tại O (do DA là tiếp tuyến) có AM là đường cao
\( \Rightarrow D{A^2} = DM.DO\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow DB.DC = DM.DO\) (đpcm)
2) Chứng minh AFEC là hình thoi và \(\angle {BAH} = \angle {ADB}\).
Do \(\angle AMB = \angle AHB\left( { = {{90}^0}} \right)\). Mà hai góc này kề nhau cùng nhìn AB dưới hai góc bằng nhau
\( \Rightarrow A,M,H,B\) cùng thuộc một đường tròn
\( \Rightarrow \angle AHM = \angle ABM = \angle ABC\)
Mà \(\angle ABC = \angle AEC\) (cùng chắn cung AC)
\( \Rightarrow \angle AEC = \angle AHM\)
Mà \(\angle MEF = \angle MHF\) (góc nội tiếp cùng chắn cung MF)
\( \Rightarrow \angle CEA = \angle MEF\)\( \Rightarrow ME\) là phân giác của \(\angle CEF\)
\( \Rightarrow \Delta CEF\) có ME vừa là đường cao vừa là phân giác
\( \Rightarrow \Delta CEF\) cân tại E \( \Rightarrow EM\) đồng thời là trung tuyến nên M là trung điểm CF
Do \(AM \bot BC\) tại M nên M là trung điểm của AE (đường kính vuông góc dây cung)
Suy ra ACEF là hình bình hành
Mà \(AM \bot CF \Rightarrow ACEF\) là hình thoi.
Chứng minh \(\angle {BAH} = \angle {ADB}\)
Ta có \(\angle ABE = \angle EAD\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chùng chắn cung AE)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {90^0} - \angle ABE = {90^0} - \angle EAD\\ \Leftrightarrow {90^0} - \angle ABH = {90^0} - \angle MAD\\ \Leftrightarrow \angle BAH = \angle ADB\end{array}\)
3) Chứng minh \(MK \bot AN\) và \(MD = 2MN\).
Do M, I lần lượt là trung điểm của AE, AH
\( \Rightarrow MI\) là đường trung bình của \(\Delta AEH \Rightarrow MI\parallel EH\)
Mà \(EH \bot AH \Rightarrow MI \bot AH\)
Do \(MI\parallel EH \Rightarrow \angle KIM = \angle KBE\) (đồng vị)
Mà \(\angle KBE = \angle KAE\) (cùng chắn cung KE)
\( \Rightarrow \angle KAM = \angle KIM\)
Mà 2 góc này kề nhau, cùng nhìn KM nên A, K, M, I cùng thuộc một đường tròn
Mà \(\angle AIM = {90^0}\left( {MI \bot AH} \right)\)
\( \Rightarrow \angle AKM = {180^0} - \angle AIM = {90^0}\)
\( \Rightarrow MK \bot AN\)
Chứng minh \(MD = 2MN\)
Do DF là trung trực của AE\( \Rightarrow \angle DAE = \angle DEA\)
\(\begin{array}{l}\angle KED = \angle AED - \angle AEK\,\,\\ = \angle DAE - \angle DAK\\ = \angle MAK\\ = \angle MIK = {90^0} - \angle AIK\\ = {90^0} - \angle AMK = \angle KMD\end{array}\)
\( \Rightarrow DKME\) nội tiếp
\( \Rightarrow \angle KDM = \angle KEM = \angle DAK\)
\( \Rightarrow \Delta NDK \sim \Delta NAD\left( {g.g} \right) \Rightarrow N{D^2} = NK.NA\)
Mà \(N{M^2} = NK.NA\) (hệ thức lượng)
\( \Rightarrow N{D^2} = N{M^2} \Rightarrow NM = ND\)
Suy ra N là trung điểm của MD
\( \Rightarrow MD = 2MN\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
