1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {4{x^2} + \left( {y + 2} \right)\left( {x - y}

Câu hỏi số 726618:

Vận dụng cao

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {4{x^2} + \left( {y + 2} \right)\left( {x - y} \right)} + 2\sqrt {xy} = 4y\,\,(1)}\\{\sqrt {x - 1} + \sqrt {5y - 1} = 3{x^2} - 7x + 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\)

2) Xét ba số dương \(a,b,c\) thay đổi và thỏa mãn điều kiện \(abc = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \dfrac{a}{{{a^3} + 3}} + \dfrac{b}{{{b^3} + 3}} + \dfrac{c}{{{c^3} + 3}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726618

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\5y - 1 \ge 0\\4{x^2} + (y + 2)(x - y) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\y \ge \dfrac{1}{5}\\4{x^2} + (y + 2)(x - y) \ge 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} + (y + 2)(x - y)} - 2y = 2y\,\, - \,2\sqrt {xy} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{4{x^2} + (y + 2)(x - y) - 4{y^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + (y + 2)(x - y)} + 2y}} = \dfrac{{2\left( {{y^2} - xy} \right)}}{{y + \sqrt {xy} }}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + (y + 2)(x - y)}}{{\sqrt {4{x^2} + (y + 2)(x - y)} + 2y}} + \dfrac{{2y\left( {x - y} \right)}}{{y + \sqrt {xy} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {\dfrac{{4\left( {x + y} \right) + y + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + (y + 2)(x - y)} + 2y}} + \dfrac{{2y}}{{y + \sqrt {xy} }}} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left[ {\dfrac{{4x + 5y + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + (y + 2)(x - y)} + 2y}} + \dfrac{{2y}}{{y + \sqrt {xy} }}} \right] = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Dựa vào điều kiện ta thấy \(\dfrac{{4x + 5y + 2}}{{\sqrt {4{x^2} + (y + 2)(x - y)} + 2y}} + \dfrac{{2y}}{{y + \sqrt {xy} }} > 0\) nên

\(\,\,\left( * \right) \Leftrightarrow x - y = 0 \Leftrightarrow x = y\)

Thay \(x = y\) vào \(\left( 2 \right)\) ta có: \(\sqrt {x - 1} + \sqrt {5x - 1} = 3{x^2} - 7x + 6\,\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} - 1 + \sqrt {5x - 1} - 3 = 3{x^2} - 7x + 2\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {x + 1} + 1}} + \dfrac{{5x - 10}}{{\sqrt {5x - 1} + 2}} = (3x - 1)(x - 2)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}} + \dfrac{5}{{\sqrt {5x - 1} + 2}} = 3x - 1\,\,\,\,(**)}\end{array}} \right.\)

\(x \ge 1 \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 1}} + \dfrac{5}{{\sqrt {5x - 1} + 2}} \le \dfrac{1}{{\sqrt 2 + 1}} + \dfrac{1}{4} < 1\)

\(x \ge 1 \Rightarrow 3x - 1 \ge 2\)

\( \Rightarrow (**)\) vô nghiệm

\( \Rightarrow x = y = 2\) (TM)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y) = (2;2)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

\({a^3} + 3 = \left( {{a^3} + 1 + 1} \right) + 1 \ge 3\sqrt[3]{{{a^3} \cdot 1 \cdot 1}} + 1 = 3a + 1.\)

\(\; \Rightarrow \dfrac{a}{{{a^3} + 3}} \le \dfrac{a}{{3a + 1}}\)

Tương tự \(\dfrac{b}{{{b^3} + 3}} \le \dfrac{b}{{3b + 1}}\) và \(\dfrac{c}{{{c^3} + 3}} \le \dfrac{c}{{3c + 1}}\)

Suy ra: \(S = \dfrac{a}{{{a^3} + 3}} + \dfrac{b}{{{b^3} + 3}} + \dfrac{c}{{{c^3} + 3}} \le \dfrac{a}{{3a + 1}} + \dfrac{b}{{3\;b + 1}} + \dfrac{c}{{3c + 1}}\left( {{\;^*}} \right)\)

Ta đặt \(P = \dfrac{a}{{3a + 1}} + \dfrac{b}{{3b + 1}} + \dfrac{c}{{3c + 1}}\)

\(\; \Rightarrow 3P = \dfrac{{3a}}{{3a + 1}} + \dfrac{{3b}}{{3b + 1}} + \dfrac{{3c}}{{3c + 1}} = 3 - \left( {\dfrac{1}{{3a + 1}} + \dfrac{1}{{3b + 1}} + \dfrac{1}{{3c + 1}}} \right)\)

Đặt \(Q = \dfrac{1}{{3a + 1}} + \dfrac{1}{{3b + 1}} + \dfrac{1}{{3c + 1}}\)

Bằng cách đổi biến \(a = \dfrac{x}{y};b = \dfrac{y}{z}\) và \(c = \dfrac{z}{x}(\) với \(x,y,z > 0)\) khi đó:

\(Q = \dfrac{1}{{3\dfrac{x}{y} + 1}} + \dfrac{1}{{3\dfrac{y}{z} + 1}} + \dfrac{1}{{3\dfrac{z}{x} + 1}} = \dfrac{y}{{3x + y}} + \dfrac{z}{{3y + z}} + \dfrac{x}{{3z + x}}\)

Biến đổi một chút và sử dụng bất đẳng thức cộng mẫu:

\(Q = \dfrac{{{y^2}}}{{3xy + {y^2}}} + \dfrac{{{z^2}}}{{3yz + {z^2}}} + \dfrac{{{x^2}}}{{3zx + {x^2}}}\)\(\; \ge \dfrac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2} + 3xy + 3yz + 3zx}} = \dfrac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{{{(x + y + z)}^2} + xy + yz + zx}}\)

Theo bất đẳng thức cơ bản thì:

\(xy + yz + zx \le \dfrac{1}{3}{(x + y + z)^2}\)

\(\; \Rightarrow {(x + y + z)^2} + xy + yz + zx\)

\(\; \le {(x + y + z)^2} + \dfrac{1}{3}{(x + y + z)^2} = \dfrac{4}{3}{(x + y + z)^2}\)

\( \Rightarrow Q \ge \dfrac{{{{(x + y + z)}^2}}}{{\dfrac{4}{3}{{(x + y + z)}^2}}} = \dfrac{3}{4}\)

Suy ra: \(3P = 3 - Q \le 3 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow P \le \dfrac{3}{4}{\rm{.\;}}\)

Dấu "=" xảy ra khi \({\rm{x}} = {\rm{y}} = {\rm{z}}\) hay \({\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c}} = 1\).

Bài toán được chứng minh.

Theo phân tích ở \(\left( {{\;^{\rm{*}}}} \right)\) thì \({\rm{S}} \le {\rm{P}} \Rightarrow {\rm{S}} \le \dfrac{3}{4}\).

Dấu "=" xảy ra khi \({\rm{a}} = {\rm{b}} = {\rm{c}} = 1\).

Vậy GTLN của \(S\) là \(\dfrac{3}{4}\) khi \(a = b = c = 1\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link