Cho phương trình \({x^2} - 5x + 4{m^2} = 0\) (\(m\) là tham số).1) Giải phương trình khi \(m = 1\).2) Tìm

Câu hỏi số 726706:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 5x + 4{m^2} = 0\) (\(m\) là tham số).

1) Giải phương trình khi \(m = 1\).

2) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn

\(\left| {x_1^3 + x_2^3 + 16{x_1}{x_2} - 5{m^2} + m - 113} \right| < 13m - {m^2}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:726706

Giải chi tiết

1) Giải phương trình khi \(m = 1\).

Thay \(m = 1\) vào phương trình \({x^2} - 5x + 4{m^2} = 0\), ta có:

\({x^2} - 5x + 4 = 0\)

Ta có \(a + b + c = 0\) nên phương trình có hai nghiệm là \(x = 1;\,\,x = 4.\)

2) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn

\(\left| {x_1^3 + x_2^3 + 16{x_1}{x_2} - 5{m^2} + m - 113} \right| < 13m - {m^2}.\)

Xét \(\Delta = {5^2} - 4.4{m^2} = 25 - 16{m^2}\)

Phương trình ban đầu có hai nghiệm khi \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 25 - 16{m^2} \ge 0 \Leftrightarrow - \dfrac{5}{4} \le m \le \dfrac{5}{4}\)

Theo hệ thức vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = 4{m^2}\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\left| {x_1^3 + x_2^3 + 16{x_1}{x_2} - 5{m^2} + m - 113} \right| < 13m - {m^2}\)

\( \Leftrightarrow \left| {({x_1} + {x_2})(x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2) + 16.4{m^2} - 5{m^2} + m - 113} \right| < 13m - {m^2}\)

\( \Leftrightarrow \left| {5(x_1^2 + x_2^2 - 4{m^2}) + 64{m^2} - 5{m^2} + m - 113} \right| < 13m - {m^2}\)

\( \Leftrightarrow \left| {5[{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2} - 4{m^2})] + 59{m^2} + m - 113} \right| < 13m - {m^2}\)

\( \Leftrightarrow \left| {5({5^2} - 2.4{m^2} - 4{m^2}) + 59{m^2} + m - 113} \right| < 13m - {m^2}\)

\( \Leftrightarrow \left| {5(25 - 12{m^2}) + 59{m^2} + m - 113} \right| < 13m - {m^2}\)

\( \Leftrightarrow \left| {125 - 60{m^2} + 59{m^2} + m - 113} \right| < 13m - {m^2}\)

\( \Leftrightarrow \left| {{m^2} - m - 12} \right| < 13m - {m^2}\)

Điều kiện \(13m - {m^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < m < 13\)

Bất phương trình \( \Leftrightarrow - (13m - {m^2}) < {m^2} - m - 12 < 13m - {m^2}\)

\( \Leftrightarrow - 13m + {m^2} < {m^2} - m - 12 < 13m - {m^2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - 14m - 12 < 0\\12 < 12m\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 7m - 6 < 0\\m > 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{7 - \sqrt {73} }}{2} < m < \dfrac{{7 + \sqrt {73} }}{2}\\m > 1\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện ta thấy \(1 < m \le \dfrac{5}{4}\)

Vậy với \(1 < m \le \dfrac{5}{4}\) thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link