Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sqrt{e^x+1} \cdot e^{2 x}\). Biết rằng

Câu hỏi số 727152:

Thông hiểu

Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sqrt{e^x+1} \cdot e^{2 x}\). Biết rằng \(F(0)=0\), tìm \(F(x)\)

A. \(F(x)=\dfrac{2\left(e^x+1\right) \sqrt{e^x+1}\left(3 e^x-2\right)-4 \sqrt{2}}{15}\)

B. \(F(x)=\dfrac{2\left(e^x+1\right)^2 \sqrt{e^x+1}-8 \sqrt{2}}{15}\).

C. \(F(x)=\dfrac{2\left(e^x+1\right) \sqrt{e^x+1}\left(5 e^x+2\right)-28 \sqrt{2}}{15}\)

D. \(F(x)=\dfrac{-2\left(e^x+1\right) \sqrt{e^x+1}\left(3 e^x-2\right)+4 \sqrt{2}}{15}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:727152

Giải chi tiết

Ta có: \(I=\int \sqrt{e^x+1} \cdot e^{2 x} d x\)

Đặt \(t=\sqrt{e^x+1} \Rightarrow t^2=e^x+1 \Rightarrow 2 t d t=e^x d x\)

Khi đó \(I=\int t\left(t^2-1\right) \cdot 2 t d t=\int\left(2 t^4-2 t^2\right) d t=\dfrac{2 t^5}{5}-\dfrac{2 t^3}{3}+C=\dfrac{2 t^3\left(3 t^2-5\right)}{15}+C\)

\(\Rightarrow F(x)=\dfrac{2\left(e^x+1\right) \sqrt{e^x+1}\left(3 e^x-2\right)}{15}+C\)

Lai có: \(F(0)=\dfrac{2.2 \sqrt{2}}{15}+C=0 \Rightarrow C=\dfrac{-4 \sqrt{2}}{15}\)

Vậy \(F(x)=\dfrac{2\left(e^x+1\right) \sqrt{e^x+1}\left(3 e^x-2\right)-4 \sqrt{2}}{15}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.