Cho \(F(x) = \dfrac{1}{{{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{f(x)}}{{{{\cos }^2}x}}\). Tìm

Câu hỏi số 727848:

Thông hiểu

Cho \(F(x) = \dfrac{1}{{{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{f(x)}}{{{{\cos }^2}x}}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \({f^\prime }(x)\tan x\)

A. \(\int {{f^\prime }} (x)\tan xdx = - \dfrac{{x + \sin 2x}}{{{x^3}}} + C\)

B. \(\int {{f^\prime }} (x)\tan xdx = \dfrac{{x + \sin 2x}}{{{x^3}}} + C\).

C. \(\int {{f^\prime }} (x)\tan xdx = - \dfrac{{x + {{\cos }^2}x}}{{{x^3}}} + C\).

D. \(\int {{f^\prime }} (x)\tan xdx = \dfrac{{x + {{\cos }^2}x}}{{{x^3}}} + C\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:727848

Giải chi tiết

Tính nguyên hàm \(I = \int {{f^\prime }} (x)\tan xdx\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = \tan x}\\{dv = {f^\prime }(x)dx}\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow I = f(x) \cdot \tan x - \int {\dfrac{{f(x)dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = f(x)\tan x - \dfrac{1}{{{x^2}}} + C\)

Mặt khác \(\dfrac{{f(x)}}{{{{\cos }^2}x}} = {F^\prime }(x) = \dfrac{{ - 2x}}{{{x^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{x^3}}}\) \( \Rightarrow f(x) = \dfrac{{ - 2{{\cos }^2}x}}{{{x^3}}}\)

Do đó \(I = \dfrac{{ - 2{{\cos }^2}x}}{{{x^3}}} \cdot \tan x - \dfrac{1}{{{x^2}}} + C = \dfrac{{ - \sin 2x}}{{{x^3}}} - \dfrac{1}{{{x^2}}} + C\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.