Chứng tỏ rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}\) thì \(2n + 1\) và \(3n + 1\) là hai số nguyên tố cùng

Câu hỏi số 731273:

Vận dụng cao

Chứng tỏ rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}\) thì \(2n + 1\) và \(3n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:731273

Phương pháp giải

Hai số nguyên tố cùng nhau có ước chung lớn nhất là 1.

Giải chi tiết

Gọi ƯCLN\(\left( {2n + 1;3n + 1} \right) = d\,\,\,(d \in \mathbb{N})\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2n + 1 \vdots d}\\{3n + 1 \vdots d}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\left( {2n + 1} \right) \vdots d}\\{2\left( {3n + 1} \right) \vdots d}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6n + 3 \vdots d}\\{6n + 2 \vdots d}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\(\; \Rightarrow \left( {6n + 3} \right) - \left( {6n + 2} \right) \vdots d\)

\(\; \Rightarrow 1 \vdots d\)

\(\; \Rightarrow d = 1\)

Do đó ƯCLN\(\left( {2n + 1,3n + 1} \right) = 1\)
Vậy \(2n + 1\) và \(3n + 1\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link