Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có đường kính \(AB\). Vẽ dây \(AC\) sao cho \(AC = R\). Gọi

Câu hỏi số 732983:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có đường kính \(AB\). Vẽ dây \(AC\) sao cho \(AC = R\). Gọi \(I\) là trung điểm của dây \(AC\). Đường thẳng \(OI\) cắt tiếp tuyến \(Ax\) tại \(M\). Chứng minh rằng:
a) \(\angle {ACB} = {90^0}\), từ đó suy ra độ dài của \(BC\) theo \(R\);
b) \(OM\) là tia phân giác của \(\angle {COA}\);
c) \(MC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:732983

Giải chi tiết

a) \(\Delta ACO\) dều \(\left( {AC = AO = CO = R} \right)\) nên \(\angle {ACO} = \angle {COA} = {60^0}\)

\( \Rightarrow \angle {COB} = {180^0} - {60^0} = {120^0}.\)

Xét \(\Delta COB\) cân tại \(O\) ta có \(\angle {OCB} = \angle {OBC} = \dfrac{{{{180}^0} - {{120}^0}}}{2} = {30^0}\).
Vậy \(\angle {ACB} = {60^0} + {30^0} = {90^0}\).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) ta có \(BC = AB \cdot {\rm{cos3}}{{\rm{0}}^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}R\).

b) Ta có \(I\) là trung điểm \(AC\) mà \(OC = OA = R\) nên \(OI\) là trung trực đoạn thẳng \(AC\).

Do \(\Delta OAC\) dều nên \(OI\) là phân giác \(\angle {COA}\).
c) Xét \(\Delta AOM\) và \(\Delta COM\) ta có:

\(OA = OC = R\)

\(\angle {AOM} = \angle {COM}\)

\(MO\) chung

Suy ra \(\Delta AOM = \Delta COM\) (c.g.c)

Khi đó \(\angle {MCO} = \angle {MAO} = {90^0}\) (góc tương ứng bằng nhau).
Mà \(C \in \left( O \right)\) nên \(MC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link