Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;4;9} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt

Câu hỏi số 735411:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;4;9} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và cắt 3 tia \(Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,{\rm{ }}B,\,C\) (khác \(O\)) sao cho \(OA + OB + OC\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách \(d\) từ gốc tọa độ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) (kết quả là tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:735411

Giải chi tiết

Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;b;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0;c} \right)\) với \(a,b,c > 0.\)

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\);

\(OA + OB + OC = a + b + c\)

\(M\left( {1;4;9} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{9}{c} = 1\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{9}{c}} \right)\left( {a + b + c} \right)\\ = \left( {{{\left( {\sqrt {\dfrac{1}{a}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\dfrac{4}{b}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\dfrac{9}{c}} } \right)}^2}} \right)\left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right)\\ \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}.\end{array}\)

\( \Rightarrow a + b + c \ge 36.\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{9}{c} = 1\\\dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{3}{c}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 12\\c = 18\end{array} \right.,\) (\(a + b + c = 49\))

Nên \(\left( P \right):\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{{12}} + \dfrac{z}{{18}} = 1.\)

Vậy \(d = \dfrac{{36}}{7} \approx 5,14\).

Đáp án cần điền là: 5,14

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.