Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2z - 38 = 0\)

Câu hỏi số 738350:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2z - 38 = 0\) và hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y - 4 = 0;\left( \beta \right):3y + z - 5 = 0\). Xét \(\left( P \right)\) là mặt phẳng thay đổi, song song với giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Khoảng cách lớn nhất từ điểm \(A\left( {5; - 5;6} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:738350

Phương pháp giải

Do \(d\left( {A,\left( P \right)} \right)\,\) lớn nhất và \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại M nên suy ra M, I, A đồng phẳng

Từ đó viết được phương trình mặt phẳng (P).

Giải chi tiết

\(\Delta = \left( \alpha \right) \cap \left( \beta \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2, - 1,3} \right)\)

Do \(\left( P \right)\parallel \Delta \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \)

Do \(d\left( {A,\left( P \right)} \right)\,\) lớn nhất và \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại M nên suy ra M, I, A đồng phẳng

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {IA} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {IA} } \right]\)

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2z - 38 = 0\) có tâm \(I\left( {1,0,1} \right),R = 2\sqrt {10} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} \left( {4, - 5,5} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {IA} } \right] = \left( {0,3,1} \right)\\ \Rightarrow \left( P \right):3y + z + d = 0\end{array}\)

Do \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R = 2\sqrt {10} \Rightarrow \dfrac{{\left| {3.0 + 1 + d} \right|}}{{\sqrt {10} }} = 2\sqrt {10} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {d + 1} \right| = 20 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 19\\d = - 21\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{P_1}} \right):3y + z + 19 = 0 \Rightarrow d\left( {A,\left( {{P_1}} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3.\left( { - 5} \right) + 6 + 19} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \sqrt {10} \\\left( {{P_2}} \right):4y + z - 21 = 0 \Rightarrow d\left( {A,\left( {{P_1}} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3.\left( { - 5} \right) + 6 - 21} \right|}}{{\sqrt {10} }} = 3\sqrt {10} \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy khoảng cách lớn nhất từ A đến (P) bằng \(3\sqrt {10} =9,5\)

Đáp án cần điền là: 9,5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.