Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB lấy điểm C sao cho \(AC > BC\) (C khác A và B).
Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB lấy điểm C sao cho \(AC > BC\) (C khác A và B). Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng OA. Đường thẳng qua D và vuông góc với AB cắt AC tại E. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCED nội tiếp
b) \(AC.AE = \dfrac{{A{B^2}}}{4}\)
Quảng cáo
a) Chứng minh 4 điểm B,C,E,D cùng thuộc đường tròn đường kính EB.
b) Chứng minh tam giác đồng dạng.
a) Xét đường tròn (O) có \(\angle {ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\angle {ACB} = {90^0}\) hay \(\angle {ECB} = {90^0}\)
Suy ra E,C,B cùng thuộc đường tròn đường kính EB.
Vì \(ED \bot AB\) (gt) nên \(\angle {EDB} = {90^0}\)
Suy ra E,D,B cùng thuộc đường tròn đường kính EB.
Do đó, bốn điểm E,C,B,D cùng thuộc đường tròn đường kính EB.
Vậy tứ giác ECBD nội tiếp
b) \(AC.AE = \dfrac{{A{B^2}}}{4}\)
Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\angle BAC\) chung
\(\angle ADE = \angle ACB = {90^0}\)
Suy ra \(\Delta AED\)~\(\Delta ABC\) (g.g)
Khi đó \(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\) hay \(AE.AC = AB.AD\)
Mà D là trung điểm của \(AO\) (gt) nên \(AD = \dfrac{1}{2}AO\)
Lại có \(OA = OB = R\) nên \(AO = \dfrac{1}{2}AB\)
Suy ra \(AD = \dfrac{1}{2}AO = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{4}AB\)
Do đó, \(AC.AE = \dfrac{1}{4}AB.AB = \dfrac{{A{B^2}}}{4}\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
