Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho tam giác vuông  có cạnh \(OA = a\) nằm trên tục \(Ox\) và \(\widehat

Câu hỏi số 739972:
Vận dụng

Cho tam giác vuông  có cạnh \(OA = a\) nằm trên tục \(Ox\) và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{2}} \right)\). Gọi \(\beta \) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác \(OAB\) xung quanh trục \(Ox\).

 

Đúng Sai
a) Khi \(\alpha  = \dfrac{\pi }{4}\) thì thể tích \(V\) của khối \(\beta \) là \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\) (đvtt).
b) Khi \(\alpha  = \dfrac{\pi }{6}\) thì thể tích \(V\) của khối \(\beta \) là \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{9}\) (đvtt).
c) Khi thể tích \(V\) của khối \(\beta \) là \(\dfrac{{4\pi {a^3}}}{3}\) thì giá trị \(\cos \alpha  < \dfrac{1}{2}\).
d) Khi \(\tan \alpha  = \cot \alpha \) thì thể tích \(V\) của khối \(\beta \) là \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\).

Đáp án đúng là: Đ; Đ; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:739972
Giải chi tiết

a) Đúng: Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\dfrac{\pi }{4}\)

Nên \(OB:y = \tan \dfrac{\pi }{4}x = x\).

Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) là:

 \(V = \pi \int\limits_0^a {{x^2}{\rm{d}}x}  = \left. {\dfrac{{\pi {x^3}}}{3}} \right|_0^a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\) (đvtt)

b) Đúng: Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\dfrac{\pi }{6}\)

Nên \(OB:y = \tan \dfrac{\pi }{6}x = \dfrac{x}{{\sqrt 3 }}\).

Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) là

\(V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {\dfrac{x}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}{\rm{d}}x}  = \pi \int\limits_0^a {\dfrac{{{x^2}}}{3}{\rm{d}}x}  = \left. {\dfrac{{\pi {x^3}}}{9}} \right|_0^a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{9}\) (đvtt).

c) Đúng: Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\alpha \)

Nên \(OB:y = \tan \alpha .x\).

Khi đó, thể tích của khối \(\beta \) là

\(V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {\tan \alpha .x} \right)}^2}{\rm{d}}x}  = \left. {\dfrac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{x^3}}}{3}} \right|_0^a = \dfrac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{a^3}}}{3}\) (đvtt).

Do

\(\begin{array}{l}V = \dfrac{{4\pi {a^3}}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{a^3}}}{3} = \dfrac{{4\pi {a^3}}}{3} \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha  = 4\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = {\tan ^2}\alpha  + 1 = 5 \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{ \pm 1}}{{\sqrt 5 }}\end{array}\).

Mặt khác \(0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha  = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\).

d) Đúng: Ta có: Do \(OB\) đi qua gốc tọa độ và tạo với \(Ox\) một góc \(\alpha \)

Nên \(OB:y = \tan \alpha .x\).

Khi đó thể tích của khối \(\beta \) là

\(V = \pi \int\limits_0^a {{{\left( {\tan \alpha .x} \right)}^2}{\rm{d}}x}  = \left. {\dfrac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{x^3}}}{3}} \right|_0^a = \dfrac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{a^3}}}{3}\) (đvtt).

Do \(\tan \alpha  = \cot \alpha  \Rightarrow {\tan ^2}\alpha  = \cot \alpha .\tan \alpha  = 1 \Leftrightarrow \tan \alpha  =  \pm 1\).

Mặt khác \(0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{2}\) nên \(\tan \alpha  = 1\)

\( \Rightarrow V = \dfrac{{\pi {{\tan }^2}\alpha .{a^3}}}{3} = \dfrac{{\pi .{a^3}}}{3}\) (đvtt).

Đáp án cần chọn là: Đ; Đ; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn