Tìm tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)

Câu hỏi số 741909:

Vận dụng

Tìm tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:741909

Phương pháp giải

Áp dụng định lí Viète.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\)

Ta có: \(\Delta {\rm{\;}} = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.\left( {m - 3} \right)\)\( = 25 - 4m + 12 = 37 - 4m\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thì:

\(\Delta {\rm{\;}} > 0\)

\(37 - 4m > 0\)

\(m < \dfrac{{37}}{4}\)

Theo hệ thức Viète ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 5}\\{{x_1}{x_2} = m - 3}\end{array}} \right.\)

Vì \({x_1} + {x_2} = 5\) nên \({x_2} = 5 - {x_1}\)

Ta có: \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\) suy ra \(m - 3 = 5x - {x^2}\)

Mà \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 5x + m - 3 = 0\) nên \(m - 3 = 5{x_1} - x_1^2\)

Ta có:

\(x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + 3{x_2} = 1\)

\(x_1^2 - 2.(m - 3) + 3(5 - {x_1}) = 1\)

\(x_1^2 - 2(5{x_1} - x_1^2) + 3(5 - {x_1}) = 1\)

\(x_1^2 - 10{x_1} + 2x_1^2 + 15 - 3{x_1} - 1 = 0\)

\(3x_1^2 - 13{x_1} + 14 = 0\)

\(3x_1^2 - 6{x_1} - 7{x_1} + 14 = 0\)

\(3{x_1}\left( {{x_1} - 2} \right) - 7\left( {{x_1} - 2} \right) = 0\)

\(\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {3{x_1} - 7} \right) = 0\)

Suy ra \({x_1} = 2\); \({x_1} = \dfrac{7}{3}\)

Với \({x_1} = 2\) ta có: \(m - 3 = 5.2 - {2^2}\) suy ra \(m = 9\) (thỏa mãn)

Với \({x_1} = \dfrac{7}{3}\) ta có: \(m - 3 = 5.\dfrac{7}{3} - {\left( {\dfrac{7}{3}} \right)^2}\) suy ra \(m = \dfrac{{83}}{9}\) (thỏa mãn)

Vậy \(m = 9;m = \dfrac{{83}}{9}\) là các giá trị cần tìm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link