Cho đường thẳng \(d:y = 2(m - 1)x - 2m + 5\)và parabol \((P):y = {x^2}\). Gọi \({x_1}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}

Câu hỏi số 741911:

Vận dụng

Cho đường thẳng \(d:y = 2(m - 1)x - 2m + 5\)và parabol \((P):y = {x^2}\). Gọi \({x_1}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) là hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm m để \((x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1)(x_2^2 - 2m{x_2} + 2m - 1) < 0\)?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:741911

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P). Vì phương trình có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\) nên \({x_1};{x_2}\)thỏa mãn phương trình hoành độ. Từ đó biến đổi về các biểu thức cần xét. Sử dụng định lý Viète để biến đổi biểu thức biểu thức đã cho về biểu thức chứa \({x_1} + {x_2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_1}{x_2}\) rồi tìm giá trị của m.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): \({x^2} - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0\,\,(*)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {(m - 1)^2} - 2m + 5\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 2m + 1 - 2m + 5\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 4 + 2\\\,\,\,\,\,\, = {(m - 2)^2} + 2 > 0\,\,\forall m\end{array}\)

Suy ra phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m hay (d) và (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

Phương trình (*) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 2(m - 1){x_1} + 2m - 5 = 0\\x_2^2 - 2(m - 1){x_2} + 2m - 5 = 0\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 = 4 - 2{x_1}\\{\rm{ \;}}x_2^2 - 2m{x_2} + 2m - 1 = 4 - 2{x_2}\end{array} \right.\)

Theo định lý Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m - 2\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\((x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1)(x_2^2 - 2m{x_2} + 2m - 1) < 0\)

\((4 - 2{x_1})(4 - 2{x_2}) < 0\)

\(16 - 8({x_1} + {x_2}) + 4{x_1}{x_2} < 0\)

\(16 - 8(2m - 2) + 4(2m - 5) < 0\)

\(16 - 16m + 16 + 8m - 20 < 0\)

\( - 8m + 12 < 0\)

\(m > \dfrac{3}{2}\)

Vậy \(m > \dfrac{3}{2}\) là giá trị cần tìm.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link