Cho phương trình \({x^2} - (2m - 3)x + {m^2} - 3m = 0\). Xác định m để phương trình có hai

Câu hỏi số 741912:

Vận dụng cao

Cho phương trình \({x^2} - (2m - 3)x + {m^2} - 3m = 0\). Xác định m để phương trình có hai nghiệm \({x_1}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) thỏa mãn \(1 < {x_1} < {x_2} < 6\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:741912

Phương pháp giải

Sử dụng biểu thức \(\Delta \) để tìm điều kiện phương trình có 2 nghiệm. Biến đổi điều kiện của đề bài theo tổng và tích, sử dụng định lý Viète biến đổi biểu thức theo \({x_1} + {x_2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_1}{x_2}\). Từ đó tìm điều kiện của m.

Giải chi tiết

\(\Delta {\rm{\;}} = {(2m - 3)^2} - 4({m^2} - 3m) = 9 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m\)

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\)

Áp dụng định lý Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = 2m - 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_1}{x_2} = {m^2} - 3m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} .\)

Khi đó:

\(1 < {x_1} < {x_2} < 6\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0}\\{{x_1} + {x_2} > 1}\\{\left( {{x_1} - 6} \right)\left( {{x_2} - 6} \right) > 0}\\{{x_1} + {x_2} < 12}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0}\\{{x_1} + {x_2} > 1}\\{{x_1}{x_2} - 6\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 36 > 0}\\{{x_1} + {x_2} < 12}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 3m - 2m + 3 + 1 > 0}\\{2m - 3 > 1}\\{{m^2} - 3m - 6\left( {2m - 3} \right) + 36 > 0}\\{2m - 3 < 12}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 5m + 4 > 0}\\{2m > 4}\\{{m^2} - 15m + 54 > 0}\\{2m < 15}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1;\,\,m > 4}\\{m > 2}\\{m < 6;\,\,m > 9}\\{m < \dfrac{{15}}{2}}\end{array}} \right.\) suy ra \(4 < m < 6\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link