Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của

Câu hỏi số 741913:

Vận dụng

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình trên có 2 nghiệm \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) thỏa mãn \(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:741913

Phương pháp giải

Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.

Áp dụng hệ thức Viète và hệ thức bài cho để tìm m.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 5 = 0\) ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' = {{\left( {m - 1} \right)}^2} - 2m + 5}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {m^2} - 2m + 1 - 2m + 5}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {m^2} - 4m + 4 + 2}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {{\left( {m - 2} \right)}^2} + 2 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall m}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) với mọi m.

Áp dụng hệ thức Viète ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right) = 2m - 2}\\{{x_1}{x_2} = 2m - 5}\end{array}} \right.\)

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 2m - 5 = 0}\\{x_1^2 - 2m{x_1} + 2{x_1} + 2m - 5 = 0}\\{x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 + 2{x_1} - 4 = 0}\\{x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1 = {\rm{\;}} - 2\left( {{x_1} - 2} \right)}\end{array}\)

Theo đề bài ta có:

\(\left( {x_1^2 - 2m{x_1} + 2m - 1} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0\)

\( - 2\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \le 0\)

\(\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) \ge 0\)

\({x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\)

\(2m - 5 - 2\left( {2m - 2} \right) + 4 \ge 0\)

\(2m - 1 - 4m + 4 \ge 0\)

\( - 2m \ge - 3\)

\(m \le \dfrac{3}{2}\)

Vậy \(m \le \dfrac{3}{2}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link