1) Chứng minh phương trình \({x^2} + 7x + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) và tính giá

Câu hỏi số 742834:

Vận dụng

1) Chứng minh phương trình \({x^2} + 7x + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) và tính giá trị của biểu thức \(M = x_1^2 + x_2^2 - 6{x_1}{x_2}\).

2) Một thửa đất có dạng hình chữ nhật, chiều dài hơn chiều rộng 19 m và diện tích bằng \(150\;{m^2}\). Người ta dự định xây bức tường bao quanh thửa đất, xây theo chu vi của thửa đất, trừ 5 m của phần cổng. Biết giá tất cả các chi phí xây bức tường được tính với mỗi mét theo chu vi là 2 triệu đồng. Tính số tiền dự định xây bức tường đó.

3) Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{2}{{x - 1}}\) (với \(\left. {0 \le x \ne 1} \right)\).

Tìm các số thực \(x\) để \(P\) nhận giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:742834

Phương pháp giải

1) Xét \(\Delta \) để xác định số nghiệm của phương trình, áp dụng định lí Viète để tính giá trị của biểu thức.

2) Xác định chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

3) Rút gọn P và chặn hai đầu của P để xác định P nguyên.

Giải chi tiết

1) Ta có \(\Delta = {7^2} - 4.5 = 49 - 20 = 29 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 7\\{x_1}{x_2} = 5\end{array} \right.\)

Khi đó:

\(M = x_1^2 + x_2^2 - 6{x_1}{x_2}\)

\(M = {({x_1} + {x_2})^2} - 8{x_1}{x_2}\)

\(M = {( - 7)^2} - 8.5\)

\(M = 49 - 40\)

\(M = 9\)

2) Gọi chiều dài và chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật lần lượt là \(x,y\) (\(m\)) (\(x > y > 0\))

Vì chiều dài hơn chiều rộng 19m nên ta có: \(x - y = 19\) (1)

Vì diện tích thửa ruộng bằng \(150\;{m^2}\) nên ta có: \(xy = 150\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 19\\xy = 150\end{array} \right.\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{(1)}\\{(2)}\end{array}\)

Từ (1) ta có \(x = 19 + y\) (3)

Thay (3) vào (2) ta được:

\((19 + y)y = 150\)

\({y^2} + 19y - 150 = 0\)

\((y - 6)(y + 25) = 0\)

Suy ra \(y = 6\) (tmđk); \(y = - 25\) (ktm)

Khi đó \(x = 19 + 6 = 25\) (tmđk)

Chu vi bức tường rào (không tính phần cổng) là: \((25 + 6).2 - 5 = 57\,\,(m)\)

Số tiền dự định xây bức tường đó là: \(57.2 = 114\) (triệu)

3) ĐKXĐ: \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\)

\(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{2}{{x - 1}}\)

\(P = \dfrac{{\sqrt x (\sqrt x + 1)}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}} - \dfrac{{\sqrt x (\sqrt x - 1)}}{{(\sqrt x + 1)(\sqrt x - 1)}} - \dfrac{2}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}}\)

\(P = \dfrac{{x + \sqrt x - x + \sqrt x - 2}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}}\)

\(P = \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}}\)

\(P = \dfrac{{2(\sqrt x - 1)}}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}}\)

\(P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\)

Với \(x \ge 0,x \ne 1\), ta có: \(\sqrt x + 1 > 0\) nên \(\dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} > 0\) tức là \(P > 0\).

Với \(x \ge 0,x \ne 1\), ta cũng có \(\sqrt x + 1 \ge 1\) nên \(\dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} \le 2\) tức là \(P \le 2\).
Do đó, ta có \(0 < P \le 2\).
Để \(P\) nhận giá trị nguyên thì \(P \in \left\{ {1;2} \right\}\).
Với \(P = 1\), ta có \(\dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} = 1\), suy ra \(\sqrt x + 1 = 2\) do đó \(\sqrt x = 1\), nên \(x = 1\) (không thỏa mãn).
Với \(P = 2\), ta có \(\dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} = 2\), suy ra \(\sqrt x + 1 = 1\) do đó \(\sqrt x = 0\), nên \(x = 0\) (thỏa mãn).
Vậy \(x = 0\) thì \(P\) nhận giá trị nguyên.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link