Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) vẽ hai tiếp tuyến \(AB,AC\) lần lượt
Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) vẽ hai tiếp tuyến \(AB,AC\) lần lượt tại \(B,C\) của \(\left( O \right)\).
1) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn.
2) Vẽ đường kính \(BD\) của \(\left( O \right)\). Chứng minh hai đường thẳng \(AO\) và \(CD\) song song với nhau.
3) Đường thẳng đi qua điểm \(O\) vuông góc với \(AD\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(E\). Chứng minh \(ED\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\).
Quảng cáo
1) Chứng minh 4 điểm A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau.
3) Chứng minh góc CDE bằng góc CBD.
1) Vì AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên \(AB \bot OB;\,\,AC \bot OC\)
Suy ra \(\angle {ABO} = \angle {ACO} = {90^0}\)
Khi đó \(\angle {ABO}\) và \(\angle {ACO}\) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AO.
Vậy các điểm A,B,O,C cùng thuộc đường tròn đường kính AO hay tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn.
2) Vì AB,AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên OA là phân giác của \(\angle {BOC}\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Suy ra \(\angle {BOA} = \angle {COA}\)
Xét đường tròn (O) có: \(\angle {BDC}\) và \(\angle {BOC}\) là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung BC nên \(\angle {BDC} = \dfrac{1}{2}\angle {BOC} = \angle {BOA}\)
Mà hai góc ở vị trí đồng vị nên hai đường thẳng \(AO\) và \(CD\) song song với nhau.
3) Gọi \(G\) là giao điểm của \(AD\) và \(OE\)
Xét đường tròn \((O)\) có \(BD\) là đường kính nên \(\angle {BCD} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Do đó \(\angle {DCE} = {90^0}\) nên \(\Delta CDE\) vuông tại \(C\), khi đó ba điểm \(C,D,E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(DE\).
Ta có \(OE \bot AD\) tại \(G\) nên \(\angle {OGA} = \angle {DGE} = {90^0}\).
\(\Delta DGE\) vuông tại \(G\) nên ba điểm \(D,G,E\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(DE\).
Do đó tứ giác \(CGDE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(DE\).
Suy ra \(\angle {CDE} = \angle {CGE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CE\)) (1)
Chứng minh tương tự, ta có tứ giác \(OACG\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA\).
Suy ra \(\angle {CGO} + \angle {OAC} = {180^0}\) (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp)
Mà \(\angle {CGO} + \angle {CGE} = {180^0}\) (hai góc kề bù)
Do đó \(\angle {OAC} = \angle {CGE}\).
Theo câu a, tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(OA\) nên \(\angle {OAC} = \angle {OBC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OC)\).
Suy ra \(\angle {CGE} = \angle {OBC}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle {CDE} = \angle {OBC}\) hay \(\angle {CDE} = \angle {DBC}\).
Lại có \(\angle {DBC} + \angle {BDC} = {90^0}\) (tổng hai góc nhọn của \(\Delta BCD\) vuông tại \(C\))
Suy ra \(\angle {CDE} + \angle {BDC} = {90^0}\) hay \(\angle {ODE} = {90^0}\)
Do đó \(ED \bot OD\) tại điểm \(D\) thuộc đường tròn \((O)\)
Vậy \(ED\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
