a) Cho \(A = \sqrt {11 - 6\sqrt 2 } + \sqrt {11 + 6\sqrt 2 } \). Tìm giá trị của \({A^3}\).b) Cho \(b,c\)

Câu hỏi số 745560:

Vận dụng

a) Cho \(A = \sqrt {11 - 6\sqrt 2 } + \sqrt {11 + 6\sqrt 2 } \). Tìm giá trị của \({A^3}\).

b) Cho \(b,c\) là hai số thực thỏa mãn \(24b + c = - 523\). Biết phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là hai số nguyên dương. Tìm hai nghiệm đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:745560

Phương pháp giải

a) Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)

b) Gọi hai nghiệm của phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) (1) là \({\rm{p}},{\rm{q}}\).

Theo định lí Viète, ta có \({\rm{p}} + {\rm{q}} = - {\rm{b}}\) và \({\rm{p}}{\rm{.q}} = {\rm{c}}\).

Từ đó thay vào biểu thức đề bài để giải.

Giải chi tiết

a) Ta có:

\(A = \sqrt {11 - 6\sqrt 2 } + \sqrt {11 + 6\sqrt 2 } \)

\( = \sqrt {{{(3 - \sqrt 2 )}^2}} + \sqrt {{{(3 + \sqrt 2 )}^2}} \)

\( = \left( {3 - \sqrt 2 } \right) + \left( {3 + \sqrt 2 } \right) = 6\)

Vậy \({A^3} = {6^3} = 216\).

b) Gọi hai nghiệm của phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) (1) là \({\rm{p}},{\rm{q}}\).

Theo định lí Viète, ta có \({\rm{p}} + {\rm{q}} = - {\rm{b}}\) và \({\rm{p}}{\rm{.q}} = {\rm{c}}\).
Dễ thấy: \(b = - \left( {p + q} \right)\).
Do \(24b + {\rm{c}} = - 523\) nên:

\( - 24\left( {{\rm{p}} + {\rm{q}}} \right) + {\rm{pq}} = - 523\)

\(pq - 24p - 24q = - 523\)

\(\left( {pq - 24p} \right) - \left( {24q - {{24}^2}} \right) = {24^2} - 523\)

\(p\left( {q - 24} \right) - 24\left( {q - 24} \right) = {24^2} - 523\)

\(\left( {p - 24} \right)\left( {q - 24} \right) = 53 = 1.53 = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 53} \right)\,\,(*)\)

Không mất tổng quát, ta có thể giả sử \({\rm{p}} \le {\rm{q}}\).

Suy ra \({\rm{q}} - 24 \ge {\rm{p}} - 24\) (**).
Từ \((*)\) và \((**)\) suy ra \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{p - 24 = 1,q - 24 = 53}\\{p - 24 = - 53,q - 24 = - 1}\end{array}} \right.\)
+) Xét \({\rm{p}} - 24 = 1\) và \({\rm{q}} - 24 = 53\) suy ra \({\rm{p}} = 25\) và \({\rm{q}} = 77\)
+) Xét \({\rm{p}} - 24 = - 53\) và \({\rm{q}} - 24 = - 1\) suy ra \({\rm{p}} = - 29 < 0\) (loại)
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là 25 và 77.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link