a) Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{5 + \sqrt x }} + \dfrac{{2x}}{{25 - x}}} \right):\left(

Câu hỏi số 745965:

Vận dụng

a) Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{5 + \sqrt x }} + \dfrac{{2x}}{{25 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 5\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\).

Chứng minh rằng, nếu \(x > 81\) thì \(A \ge 36\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
b) Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m - 2 = 0\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình có hai nghiệm đều là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:745965

Giải chi tiết

a) Với \(x > 81\), có thể thấy biểu thức \(A\) luôn được xác định, ta có:

\(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{5 + \sqrt x }} + \dfrac{{2x}}{{25 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 5\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\)

\(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x (5 - \sqrt x )}}{{(5 + \sqrt x )(5 - \sqrt x )}} + \dfrac{{2x}}{{(5 + \sqrt x )(5 - \sqrt x )}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x (\sqrt x - 5)}} - \dfrac{{2(\sqrt x - 5)}}{{\sqrt x (\sqrt x - 5)}}} \right)\)

\(A = \dfrac{{5\sqrt x - x + 2x}}{{(5 + \sqrt x )(5 - \sqrt x )}}:\dfrac{{\sqrt x - 1 - 2\sqrt x + 10}}{{\sqrt x (\sqrt x - 5)}}\)

\(A = \dfrac{{5\sqrt x + x}}{{(5 + \sqrt x )(5 - \sqrt x )}}:\dfrac{{ - \sqrt x + 9}}{{\sqrt x (\sqrt x - 5)}}\)

\(A = \dfrac{{\sqrt x (5 + \sqrt x )}}{{(5 + \sqrt x )(5 - \sqrt x )}} \cdot \dfrac{{\sqrt x (\sqrt x - 5)}}{{9 - \sqrt x }}\)

\(A = \dfrac{x}{{\sqrt x - 9}}\)

Ta có \(A = \dfrac{x}{{\sqrt x - 9}} = \sqrt x + 9 + \dfrac{{81}}{{\sqrt x - 9}} = (\sqrt x - 9) + \dfrac{{81}}{{\sqrt x - 9}} + 18\)

Sử dụng bất đẳng thức \({\rm{AM}} - {\rm{GM}}\), ta có \(A \ge 2\sqrt {81} + 18 = 36\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt x - 9 = \dfrac{{81}}{{\sqrt x - 9}} > 0\), tức \(x = 324\).
b) Với \(m \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}\), thử trực tiếp ta thấy chỉ có \(m = 2\) thỏa mãn.

Xét trường hợp \(m \ge 5\).

Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì điều kiện cần là biệt thức \({\rm{\Delta }}\) của nó phải là số chính phương.

Tuy nhiên, ta lại có \({\rm{\Delta }} = {(m + 1)^2} - 4\left( {m - 2} \right) = {m^2} - 2m + 9 > {m^2} - 2m + 1 = {(m - 1)^2}\) và \({\rm{\Delta }} = {m^2} - 2m + 9 < {m^2}\) nên \({\rm{\Delta }}\) không thể là số chính phương, mâu thuẫn.

Vậy, \(m = 2\) là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link