a) Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{5 + \sqrt x }} + \dfrac{{2x}}{{25 - x}}} \right):\left(

Câu hỏi số 745965:

Vận dụng

a) Cho biểu thức \(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{5 + \sqrt x }} + \dfrac{{2x}}{{25 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 5\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\).

Chứng minh rằng, nếu \(x > 81\) thì \(A \ge 36\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
b) Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m - 2 = 0\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số). Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình có hai nghiệm đều là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:745965

Giải chi tiết

a) Với \(x > 81\), có thể thấy biểu thức \(A\) luôn được xác định, ta có:

\(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{5 + \sqrt x }} + \dfrac{{2x}}{{25 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 5\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\)

\(A = \left( {\dfrac{{\sqrt x (5 - \sqrt x )}}{{(5 + \sqrt x )(5 - \sqrt x )}} + \dfrac{{2x}}{{(5 + \sqrt x )(5 - \sqrt x )}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x (\sqrt x - 5)}} - \dfrac{{2(\sqrt x - 5)}}{{\sqrt x (\sqrt x - 5)}}} \right)\)

\(A = \dfrac{{5\sqrt x - x + 2x}}{{(5 + \sqrt x )(5 - \sqrt x )}}:\dfrac{{\sqrt x - 1 - 2\sqrt x + 10}}{{\sqrt x (\sqrt x - 5)}}\)

\(A = \dfrac{{5\sqrt x + x}}{{(5 + \sqrt x )(5 - \sqrt x )}}:\dfrac{{ - \sqrt x + 9}}{{\sqrt x (\sqrt x - 5)}}\)

\(A = \dfrac{{\sqrt x (5 + \sqrt x )}}{{(5 + \sqrt x )(5 - \sqrt x )}} \cdot \dfrac{{\sqrt x (\sqrt x - 5)}}{{9 - \sqrt x }}\)

\(A = \dfrac{x}{{\sqrt x - 9}}\)

Ta có \(A = \dfrac{x}{{\sqrt x - 9}} = \sqrt x + 9 + \dfrac{{81}}{{\sqrt x - 9}} = (\sqrt x - 9) + \dfrac{{81}}{{\sqrt x - 9}} + 18\)

Sử dụng bất đẳng thức \({\rm{AM}} - {\rm{GM}}\), ta có \(A \ge 2\sqrt {81} + 18 = 36\).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\sqrt x - 9 = \dfrac{{81}}{{\sqrt x - 9}} > 0\), tức \(x = 324\).
b) Với \(m \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}\), thử trực tiếp ta thấy chỉ có \(m = 2\) thỏa mãn.

Xét trường hợp \(m \ge 5\).

Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì điều kiện cần là biệt thức \({\rm{\Delta }}\) của nó phải là số chính phương.

Tuy nhiên, ta lại có \({\rm{\Delta }} = {(m + 1)^2} - 4\left( {m - 2} \right) = {m^2} - 2m + 9 > {m^2} - 2m + 1 = {(m - 1)^2}\) và \({\rm{\Delta }} = {m^2} - 2m + 9 < {m^2}\) nên \({\rm{\Delta }}\) không thể là số chính phương, mâu thuẫn.

Vậy, \(m = 2\) là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link