Cho \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}(2 \tan x+\cot x)^2 \mathrm{~d} x=a+b \sqrt{3}+c \pi(*)\). Biết rằng,

Câu hỏi số 746184:

Vận dụng

Cho \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}(2 \tan x+\cot x)^2 \mathrm{~d} x=a+b \sqrt{3}+c \pi(*)\). Biết rằng, tồn tại duy nhất bộ ba số hữu tỉ \(a, b, c\) thỏa mãn (*). Tổng \(a+3b+12c\) có giá trị bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 1

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:746184

Giải chi tiết

Ta có

\(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}(2 \tan x+\cot x)^2 \mathrm{~d} x =\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\left(4 \tan ^2 x+4 \tan x \cdot \cot x+\cot ^2 x\right) \mathrm{d} x\)

\(=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\dfrac{4}{\cos ^2 x}+\dfrac{1}{\sin ^2 x}-1\right) \mathrm{d} x \)

\(=\left.(4 \tan x-\cot x-x)\right|_{\frac{\pi}{6}} ^{\frac{\pi}{4}}=3+\dfrac{-1}{3} \cdot \sqrt{3}+\dfrac{-1}{12} \cdot \pi\)

Vậy \(a=3, b=\dfrac{-1}{3}, c=\dfrac{-1}{12}\).

Do đó \(a+3b+12c=3-1-1=1\).

Đáp án cần điền là: 1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.