Trong không gian tọa độ \(O x y z\) cho tam giác \(A B C\) có \(A(0 ; 2 ;-1) ; B(1 ; 0 ; 3) ;

Câu hỏi số 746209:

Vận dụng

Trong không gian tọa độ \(O x y z\) cho tam giác \(A B C\) có \(A(0 ; 2 ;-1) ; B(1 ; 0 ; 3) ; C(2 ; 4 ; 1)\) và \((P): 2 x+\) \(3 y-z+5=0\). Gọi \(M(a, b, c)\) là điểm thuộc mặt phẳng \((\mathrm{P})\) sao cho \(M A^2+M B^2+M C^2\) nhỏ nhất. Giá trị biểu thức \(7(a^2+b^2+c^2)\) là:

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:746209

Giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\), thì \(G(1,2,1)\). Ta có:

\(\begin{aligned}M A^2+M B^2+M C^2 & =(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G A})^2+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G B})^2+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G C})^2 \\ & =3 M G^2+2 \overrightarrow{M G}(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C})+G A^2+G B^2+G C^2 \end{aligned}\)

Tổng trên nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(G\) trên mặt phẳng \((P)\).

Do đó, véc tơ pháp tuyến của đường thẳng \(M G\) là \(\vec{n}=(2,3,-1)\).

Phương trình đường thẳng \(M G\) là \((M G): \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-1}{-1}\).

Suy ra \(M=(M G) \cap(P), M=(-\dfrac{5}{7},-\dfrac{4}{7},\dfrac{13}{7})\).

Vậy \(7(a^2+b^2+c^2)=30\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.