Từ một cây sắt dài 6 mét người ta uốn lại thành khung của một cánh

Câu hỏi số 748908:

Vận dụng

Từ một cây sắt dài 6 mét người ta uốn lại thành khung của một cánh cổng gồm một hình chữ nhật và một nửa hình tròn ghép lại như hình vẽ sau (không tính đoạn \(AB\)).

Cánh cổng trên có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu nếu bỏ qua hao hụt và các mối hàn khi gia công? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:748908

Phương pháp giải

- Đặt \(CD = x\) . Tính chu vi nửa hình tròn theo \(x\), từ đó tính \(AD\) theo \(x\).

- Tính điện tích nửa hình tròn và diện tích hình chữ nhật, từ đó suy ra diện tích cánh cổng.

- Sử dụng: Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a < 0} \right)\) đạt GTLN khi \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\).

Giải chi tiết

Đặt \(CD = x\) \( \Rightarrow \) Chu vi nửa hình tròn là \(\dfrac{1}{2}\pi AB = \dfrac{1}{2}\pi x\).

\( \Rightarrow AD = \dfrac{{6 - x - \dfrac{1}{2}\pi x}}{2} = 3 - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\pi } \right)x\).

Diện tích nửa hình tròn là: \(\dfrac{1}{2}\pi .{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{\pi {x^2}}}{8}\).

Diện tích hình chữ nhật là \(AD.CD = \left( {3 - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\pi } \right)x} \right).x = 3x - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\pi } \right){x^2}\).

\( \Rightarrow \) Diện tích cánh cổng là

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\pi {x^2}}}{8} + 3x - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\pi } \right){x^2}\\ = - \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\pi - \dfrac{1}{8}\pi } \right){x^2} + 3x\\ = - \dfrac{1}{8}\left( {\pi + 4} \right){x^2} + 3x\end{array}\)

Hàm số \(y = - \dfrac{1}{4}\left( {2 + \pi } \right){x^2} + 3x\) đạt GTLN tại \(x = \dfrac{{ - 3}}{{ - 2.\dfrac{1}{8}\left( {\pi + 4} \right)}} = \dfrac{{12}}{{\pi + 4}}\).

Khi đó diện tích cánh cổng đạt GTLN bằng \( - \dfrac{1}{8}\left( {\pi + 4} \right){\left( {\dfrac{{12}}{{\pi + 4}}} \right)^2} + 3\dfrac{{12}}{{\pi + 4}} = \dfrac{{18}}{{\pi + 4}}=2,52\).

Đáp án cần điền là: 2,52

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.