Tổng tất cả giá trị của \(n \le 10\) thoả mãn \(C_{n + 2}^{n - 1} + C_{n + 2}^n > \dfrac{5}{2}A_n^2\)

Câu hỏi số 749134:

Vận dụng

Tổng tất cả giá trị của \(n \le 10\) thoả mãn \(C_{n + 2}^{n - 1} + C_{n + 2}^n > \dfrac{5}{2}A_n^2\) là:

A. \(55\).

B. \(44\).

C. \(54\).

D. \(45\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:749134

Phương pháp giải

Áp dụng công thức chỉnh hợp, tổ hợp, giai thừa đưa bài toán về giải bất phương trình trình.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\).

Ta có: \(C_{n + 2}^{n - 1} + C_{n + 2}^n > \dfrac{5}{2}A_n^2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow C_{n + 3}^n > \dfrac{5}{2}A_n^2 \Leftrightarrow \dfrac{{(n + 3)!}}{{n!3!}} > \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{{n!}}{{(n - 2)!}} \Leftrightarrow \dfrac{{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}}{6} > \dfrac{5}{2} \cdot (n - 1)n\\ \Leftrightarrow {n^3} + 6{n^2} + 11n + 6 > 15{n^2} - 15n \Leftrightarrow {n^3} - 9{n^2} + 26n + 6 > 0\\ \Leftrightarrow n\left( {{n^2} - 9n + 26} \right) + 6 > 0 \Leftrightarrow n\left[ {{{\left( {n - \dfrac{9}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{23}}{4}} \right] + 6 > 0(*).\end{array}\)

Dễ thấy (*) luôn đúng với mọi \(n \ge 2\).

Vậy tổng tất cả các nghiệm của bất phương trình là \(54\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.